Veamos un ejemplo de termodinámica que implica calor específico y equilibrio térmico.
Enunciado del ejemplo de termodinámica
Un pequeño disco de cobre cuya masa es de 75 gr y calor específico C_{cu} = 0.0923\ cal/(g K), se caliente a una temperatura de 312 °C. El disco se pone entonces en un vaso de vidrio que contiene un amasa de 230 gr de agua. La capacidad calorífica del vaso es C_{b} = 45 cal/K. La temperatura inicial T_{i} del agua y el vaso es de 12 °C. Si se supone que el pequeño disco, el vaso y el agua son un sistema aislado y el agua no se evapora, encuentre la temperatura final del sistema en equilibro térmico en grados Kelvin.
¡Resolvamos el ejercicio!
Primero enlistemos los datos que nos dice el enunciado para tenerlos más a la vista:
- m_{cu} = 75 \ gr
- c_{cu} = 0.0923 \ cal/(gr K)
- T_{i_{cu}} = 312 °C
- m_{agua} = 230 \ gr
- c_{vaso} = 45 \ cal / K
- T_{i_{agua}} = 12°C
- T_{i_{vaso}} = 12°C
- c_{agua} = 1 \ cal/ (gr K)
Como el enunciado pide que hallemos la temperatura final del sistema en equilibrio térmico, entonces hay que convertir las temperaturas de grados Celsius a Kelvin.
- T_{i_{cu}} = 312 +273.15 = 585.15 \ K
- T_{i_{agua}} = 12 + 273.15 = 285.15 \ K
- T_{i_{vaso}} = 12 + 273.15 = 285.15 \ K
Como lo que queremos hacer es llevar a un equilibrio térmico, quiere decir que la suma de la cantidad de calor transferida debe de ser igual a cero:
Q_{cu} + Q_{vaso} + Q_{agua} = 0
Recordemos la siguiente fórmula para la resolución de este ejercicio de termodinámica:
Q = c \cdot m \cdot \Delta T
Donde \Delta T es la diferencia de la temperatura final menos la temperatura inicial: \Delta T = T_{F} - T_{i}.
c es el calor específico o capacidad calorífica (no es lo mismo capacidad calorífica que calor específico, pero dependen de las mismas variables).
m es la masa en unidades de gramos.
Y Q es la transferencia de calor.
Así que fácilmente podemos establecer la fórmula para poder resolver este sencillo ejemplo de termodinámica, veamos:
c_{cu}m_{cu}(T_{F}-T_{i_{cu}})+c_{vaso}(T_{F}-T_{i_{vaso}})+c_{H_{2}O}m_{H_{2}O}(T_{F}-T_{i_{H_{2}O}})
Como se puede observar, T_{F} no tiene otro subíndice porque la temperatura final a la que se quiere llegar tiene que ser igual para todos los materiales. Igualmente otro detalle que se puede observar en la ecuación es que no aparece la masa del vaso ya que en este ejercicio no importa la masa del vaso porque el vaso es el recipiente donde se va a contener el agua y el cobre.
A despejar la ecuación
Vamos a multiplicar todos los paréntesis:
c_{cu}\cdot m_{cu}\cdot T_{F}-c_{cu}\cdot m_{cu}\cdot T_{i_{cu}}+c_{vaso}\cdot T_{F}-c_{vaso}\cdot T_{i_{vaso}}+
c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O}\cdot T_{F}-c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O}\cdot T_{i_{H_{2}O}} = 0
Dejaremos de un lado de la expresión todos los términos que tengan el término T_{F} y del otro lado de la expresión pondremos todos los términos que no tengan T_{F}:
c_{cu}\cdot m_{cu}\cdot T_{F} +c_{vaso}\cdot T_{F}+c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O}\cdot T_{F} =
c_{cu}\cdot m_{cu}\cdot T_{i_{cu}}+c_{vaso}\cdot T_{i_{vaso}}+c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O}\cdot T_{i_{H_{2}O}}
Ahora tenemos que despejar la T_{F} para poder dejarla sola:
T_{F}(c_{cu}\cdot m_{cu}+c_{vaso}+c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O})=
c_{cu}\cdot m_{cu}\cdot T_{i_{cu}}+c_{vaso}\cdot T_{i_{vaso}}+c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O}\cdot T_{i_{H_{2}O}}
Pasamos dividiendo todo lo que está multiplicando al T_{F} para que ahora sí la T_{F} se encuentre despejada completamente:
T_{F} = \cfrac{ c_{cu}\cdot m_{cu}\cdot T_{i_{cu}}+c_{vaso}\cdot T_{i_{vaso}}+c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O}\cdot T_{i_{H_{2}O}}}{c_{cu}\cdot m_{cu}+c_{vaso}+c_{H_{2}O}\cdot m_{H_{2}O}}
¡Sustituyamos variables!
Con la ecuación ya despejada, procedamos a sustituir variables para poder obtener la temperatura en equilibrio del sistema, recordemos las variables:
- m_{cu} = 75 \ gr
- c_{cu} = 0.0923 \frac{cal}{gr K}
- T_{i_{cu}} = 585.15 \ K
- m_{agua} = 230 \ gr
- c_{vaso} = 45 \frac{cal}{K}
- T_{i_{agua}} = 285.15 \ K
- T_{i_{vaso}} = 285.15 \ K
- c_{agua} = 1 \frac{cal}{gr K}
T_{F} = \cfrac{(0.0923 \frac{cal}{gr K})(75 \ gr)( 585.15 \ K)+(45 \frac{cal}{K})(285.15 \ K)+(1 \frac{cal}{gr K})(230 \ gr)(285.15 \ K)}{(0.0923 \frac{cal}{gr K})(75 \ gr)+(45 \frac{cal}{K})+(1 \frac{cal}{gr K})(230 \ gr)}
Una vez con todas las variables ya sustituidas con su valor correspondiente, procedemos a cancelar los términos que se puedan cancelar (aquí ya puedes meter calculadorazo, pero lo vamos a explicar paso a pasito):
T_{F} = \cfrac{(0.0923 \frac{cal}{\cancel{gr} \cancel{K}})(75 \cancel{gr})( 585.15 \cancel{K})+(45 \frac{cal}{\cancel{K}})(285.15 \cancel{K})+(1 \frac{cal}{\cancel{gr} \cancel{K}})(230 \cancel{gr})(285.15 \cancel{K})}{(0.0923 \frac{cal}{\cancel{gr} K})(75 \cancel{gr})+(45 \frac{cal}{K})+(1 \frac{cal}{\cancel{gr} K})(230 \cancel{gr})}
Con esas cancelaciones hechas, nos queda lo siguiente:
T_{F} = \cfrac{(0.0923 cal)(75)( 585.15)+(45 cal)(285.15)+(1 \ cal)(230)(285.15)}{(0.0923 \ \frac{cal}{k})(75)+(45 \frac{cal}{K})+(1 \frac{cal}{K})(230)}
Multiplicaremos los valores que podamos multiplicar para obtener la siguiente fracción:
T_{F} = \cfrac{4050.700875 \ cal + 12831.75 \ cal + 65584.5 \ cal}{6.9225 \frac{cal}{k} + 45\frac{cal}{k} + 230 \frac{cal}{k}}
Resolviendo las sumas nos quedará algo como lo siguiente:
T_{F} = \cfrac{82466.95088 \ cal}{281.9225\frac{cal}{K}}
Seguidamente aplicaremos la ley del emparedado o ley del sándwich, se va a cancelar el cal y fácilmente se puede hacer la división para obtener el resultado de:
T_{F} = 292.51 \ K
¡El resultado!
El resultado de la temperatura final del sistema en equilibrio térmico es:
292.51 \ K
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