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Generador sincrónico. Determinar voltaje y factor de potencia

El enunciado del ejercicio es el siguiente:

Un generador sincrónico de $12$ polos de $400V$ a $50Hz$, $Xs= 1 \Omega$, conectado en estrella, la corriente de armadura a plena carga es de $60 A$ con un factor de potencia de $0\text{.}8$ en atraso. La corriente de campo se ajusta para que el voltaje en los terminales en vacío sea de $400V$. Determinar el voltaje a corriente nominal y Factor de Potencia ($FP$) $0\text{.}7$ en atraso.

Para empezar con el ejercicio, necesitamos la fórmula siguiente:

$$\left|V_{a} \right|\angle 0 = E_{f} \angle \delta – jX_{s} \left|I_{a} \right|\angle \theta$$

Iremos por partes, determinaremos los ángulos que necesitamos para la fórmula, empezaremos con el ángulo $\theta$ usando la fórmula siguiente:

$$\cos \theta = FP$$

Donde $\theta$ es el ángulo en que se encuentra la parte imaginaria del voltaje. Tenemos lo siguiente:

$$\cos \theta = FP = 0\text{.}7 \qquad \ \theta = \cos^{-1}0\text{.}7$$

Utilizando la calculadora en grados, obtendremos el siguiente valor:

$$\theta = 45\text{.}57$$

Pero recuerda que el enunciado dice que se encuentra en ATRASO. Así que nuestro valor de $\theta$ lo tendremos que volver negativo, simplemente agrega el signo negativo:

$$\begin{array}{| c |}
\hline
\theta = -45\text{.}57 \\
\hline
\end{array}$$

Necesitamos hallar el ángulo para la parte real, necesitamos la fórmula del inicio:

$$\left|V_{a} \right|\angle 0 = E_{f} \angle \delta – jX_{s} \left|I_{a} \right|\angle \theta$$

Y desarrollaremos la fórmula para empezar a resolverla

$$\left|V_{a} \right| = E_{f} \left( \cos \delta + j \sin \delta \right) – j X_{s} I_{a} \left( \cos \theta + j \sin \theta \right)$$

Vamos paso a paso para no perdernos, multiplicaremos todos los términos:

$$\left| V_{a} \right| = E_{f} \cos \delta + j \left|E_{f} \right| \sin \delta – jX_{s}I_{a} \cos \theta – j^{2} X_{s} I_{a} \sin \theta$$

Recordemos que un número imaginario es igual a $j = \sqrt{-1}$, pero un número imaginario al cuadrado es igual a $j^{2} = \left(\sqrt{-1} \right)^{2} = -1$, así que tenemos lo siguiente:

$$\left| V_{a} \right| = E_{f} \cos \delta + j \left|E_{f} \right| \sin \delta – jX_{s}I_{a} \cos \theta – \left( -1 \right) X_{s} I_{a} \sin \theta$$

$$ = E_{f} \cos \delta + j \left|E_{f} \right| \sin \delta – jX_{s}I_{a} \cos \theta + X_{s} I_{a} \sin \theta$$

Ahora separaremos los términos, reales con reales e imaginarios con imaginarios. Los reales son iguales al voltaje $V_{a}$ y los imaginarios son iguales a cero:

$$\left| V_{a} \right| = E_{f} \cos \delta + X_{s} I_{a} \sin \theta$$

$$0 = j \left| E_{f} \right| \sin \delta – j X_{s} \left| I_{a} \right| \cos \theta$$

Excelente, ahora trabajaremos con la parte imaginaria para hallar el valor del ángulo $\delta$, podemos eliminar las $j$:

$$0 = E_{f} \sin \delta – X_{s} I_{a} \cos \theta$$

Donde $I_{a}$ es la corriente de armadura. Dejamos a solas al $\sin \delta$:

$$\sin \delta = \cfrac{X_{s} I_{a} \cos \theta}{E_{f}} = \cfrac{(1\Omega)(60A)(0\text{.}7)}{400V/\sqrt{3}} = 0\text{.}1819$$

Aplicamos el seno inverso:

$$\begin{array}{| c |}
\hline
\delta = \sin^{-1} (0\text{.}1819) = 10\text{.}48°\\
\hline
\end{array}$$

Tomamos la parte de los números reales y como ya tenemos los dos ángulos, sustituimos para obtener el valor de $V_{a}$:

$$V_{a} = \left|E_{f} \right| \cos \delta + X_{s} I_{a} \sin \theta$$

$$V_{a} = \cfrac{400V}{\sqrt{3}}\cos(10\text{.}48°) + (1\Omega) (60A)\sin(-45\text{.}57)$$

Tomamos calculadora para obtener nuestro voltaje terminal a corriente nominal:

$$\begin{array}{| c |}
\hline
V_{a} = 184\text{.}24V \\
\hline
\end{array}$$

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