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Generador sincrónico. Determinar voltaje y factor de potencia

El enunciado del ejercicio es el siguiente:

Un generador sincrónico de 12 polos de 400V a 50Hz, Xs= 1 \Omega, conectado en estrella, la corriente de armadura a plena carga es de 60 A con un factor de potencia de 0\text{.}8 en atraso. La corriente de campo se ajusta para que el voltaje en los terminales en vacío sea de 400V. Determinar el voltaje a corriente nominal y Factor de Potencia (FP) 0\text{.}7 en atraso.

Para empezar con el ejercicio, necesitamos la fórmula siguiente:

\left|V_{a} \right|\angle 0 = E_{f} \angle \delta - jX_{s} \left|I_{a} \right|\angle \theta

Iremos por partes, determinaremos los ángulos que necesitamos para la fórmula, empezaremos con el ángulo \theta usando la fórmula siguiente:

\cos \theta = FP

Donde \theta es el ángulo en que se encuentra la parte imaginaria del voltaje. Tenemos lo siguiente:

\cos \theta = FP = 0\text{.}7 \qquad \ \theta = \cos^{-1}0\text{.}7

Utilizando la calculadora en grados, obtendremos el siguiente valor:

\theta = 45\text{.}57

Pero recuerda que el enunciado dice que se encuentra en ATRASO. Así que nuestro valor de \theta lo tendremos que volver negativo, simplemente agrega el signo negativo:

\begin{array}{| c |} \hline \theta = -45\text{.}57 \\ \hline \end{array}

Necesitamos hallar el ángulo para la parte real, necesitamos la fórmula del inicio:

\left|V_{a} \right|\angle 0 = E_{f} \angle \delta - jX_{s} \left|I_{a} \right|\angle \theta

Y desarrollaremos la fórmula para empezar a resolverla

\left|V_{a} \right| = E_{f} \left( \cos \delta + j \sin \delta \right) - j X_{s} I_{a} \left( \cos \theta + j \sin \theta \right)

Vamos paso a paso para no perdernos, multiplicaremos todos los términos:

\left| V_{a} \right| = E_{f} \cos \delta + j \left|E_{f} \right| \sin \delta - jX_{s}I_{a} \cos \theta - j^{2} X_{s} I_{a} \sin \theta

Recordemos que un número imaginario es igual a j = \sqrt{-1}, pero un número imaginario al cuadrado es igual a j^{2} = \left(\sqrt{-1} \right)^{2} = -1, así que tenemos lo siguiente:

\left| V_{a} \right| = E_{f} \cos \delta + j \left|E_{f} \right| \sin \delta - jX_{s}I_{a} \cos \theta - \left( -1 \right) X_{s} I_{a} \sin \theta

= E_{f} \cos \delta + j \left|E_{f} \right| \sin \delta - jX_{s}I_{a} \cos \theta + X_{s} I_{a} \sin \theta

Ahora separaremos los términos, reales con reales e imaginarios con imaginarios. Los reales son iguales al voltaje V_{a} y los imaginarios son iguales a cero:

\left| V_{a} \right| = E_{f} \cos \delta + X_{s} I_{a} \sin \theta

0 = j \left| E_{f} \right| \sin \delta - j X_{s} \left| I_{a} \right| \cos \theta

Excelente, ahora trabajaremos con la parte imaginaria para hallar el valor del ángulo \delta, podemos eliminar las j:

0 = E_{f} \sin \delta - X_{s} I_{a} \cos \theta

Donde I_{a} es la corriente de armadura. Dejamos a solas al \sin \delta:

\sin \delta = \cfrac{X_{s} I_{a} \cos \theta}{E_{f}} = \cfrac{(1\Omega)(60A)(0\text{.}7)}{400V/\sqrt{3}} = 0\text{.}1819

Aplicamos el seno inverso:

\begin{array}{| c |} \hline \delta = \sin^{-1} (0\text{.}1819) = 10\text{.}48°\\ \hline \end{array}

Tomamos la parte de los números reales y como ya tenemos los dos ángulos, sustituimos para obtener el valor de V_{a}:

V_{a} = \left|E_{f} \right| \cos \delta + X_{s} I_{a} \sin \theta

V_{a} = \cfrac{400V}{\sqrt{3}}\cos(10\text{.}48°) + (1\Omega) (60A)\sin(-45\text{.}57)

Tomamos calculadora para obtener nuestro voltaje terminal a corriente nominal:

\begin{array}{| c |} \hline V_{a} = 184\text{.}24V \\ \hline \end{array}

Gracias por estar en este momento con nosotros : )