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Generador sincrónico. Determinar velocidad, corriente y ángulo de carga

El enunciado del ejercicio es el siguiente:

Un generador sincrónico, trifásico de 5 \text{kVA}, 208 \sqrt{3} V de línea a línea, 4 polos, 60 Hz, conexión estrella, tiene una reactancia sincrónica Xs = 8\Omega. El generador opera a una red trifásica de 208\sqrt{3} V de línea a línea, 60 Hz. La tabla muestra la característica de vacío del generador a 60 Hz.

\begin{array}{| l | c | c | c | c | c |} \hline I_{F} (A) & 1 & 2 & 2\text{.}5 & 3 & 4 \\ \hline E_{F} (V) & 100 & 200 & 250 & 280 & 300\\ \hline \end{array}

A) ¿A qué velocidad (rpm) debe ser impulsado el eje del generador para poder conectarse a la red de 60 Hz?

B) Calcule la corriente I_{F} necesaria para que el generador entregue potencia a la red con corriente nominal y factor de potencia (FP) 0.8 en adelanto. Determine el ángulo de carga \delta.

Inciso A. Determinemos la velocidad del generador sincrónico.

Para determinar la velocidad del generador sincrónico utilizaremos la siguiente fórmula:

Ns = \cfrac{2 \cdot 60 \cdot f}{P}

Donde:

  • Ns es la velocidad en rpm a la que debe de girar el aerogenerador
  • f es la frecuencia a la que queremos que salga la señal del aerogenerador y
  • P es el número de polos.

Sustituimos los valores que nos da el enunciado:

Ns = \cfrac{2 \cdot 60 \cdot 60}{4}

Y obtenemos nuestra velocidad:

\begin{array}{| c |} \hline Ns = 1800 \ \text{rpm} \\ \hline\end{array}

b) Calculemos la corriente necesaria I_{f} y el ángulo de carga

Primero necesitamos determinar la corriente nominal, para eso usaremos la siguiente fórmula:

\left|I_{f} \right| = \left|I_{a}\right| = \cfrac{\left|P_{a} \right|}{\sqrt{3} \cdot V_{aLL}}

Donde:

  • P_{a} es la potencia aparente del generador sincrónico y
  • V_{aLL} es el voltaje línea – línea.

Sustitumos los términos:

\left|I_{f} \right| = \left|I_{a}\right| = \cfrac{5000}{\sqrt{3} \cdot 208 \cdot \sqrt{3}}

\begin{array}{| c |} \hline \left|I_{L} \right| = 8\text{.}01A \\ \hline \end{array}

Con la corriente nominal, podemos proceder a calcular la corriente de fase I_{f}, necesitamos la siguiente fórmula:

V_{a} = E_{a} - jX_{s} I_{a}

Donde:

  • V_{a} es el voltaje de línea línea
  • E_{a} es el voltaje real
  • I_{a} es la corriente nominal

Pero el ángulo de carga se encuentra en E_{a}, así que necesitamos despejar la fórmula anterior:

E_{a} = V_{a} + jX_{s} I_{a}

Sustitumos los términos que nos dan en el enunciado:

E_{a} = 208 \angle 0° + j(8\Omega)(8\text{.}013)\angle -36\text{.}87°

Lo multiplicamos por el trigonométrico del ángulo:

E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013)\left( \cos (-36\text{.}87°) + j\sin (-36\text{.}87°) \right)

Multiplicamos el paréntesis para obtener lo siguiente:

E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013) \cos (-36\text{.}87°) + j(8\Omega)(8\text{.}013)\cdot j\sin (-36\text{.}87°)

E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013) \cos (-36\text{.}87°) + j^{2}(8\Omega)(8\text{.}013)\sin (-36\text{.}87°)

Recordemos que los números imaginarios tienen el valor de: j = \sqrt{-1} y si los elevamos al cuadrado, su valor es de: j^{2} = \left(\sqrt{-1}\right)^{2} = -1, así que tenemos:

E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013) \cos (-36\text{.}87°) - (8\Omega)(8\text{.}013)\sin (-36\text{.}87°)

Tomamos calculadora recordando que esté en la función de grados, resolveremos la parte de trigonometría y después sumaremos reales con reales e imaginarios con imaginarios:

E_{a} = 208 + j51\text{.}28 - (-38\text{.}46)

E_{a} = 208 + j51\text{.}28 + 38\text{.}46

E_{a} = 246\text{.}46 + j51\text{.}28

Perfecto, utilizando le siguiente triángulo, podemos observar lo que tenemos qué hacer para hallar el ángulo de carga \delta:

ángulo-delta-carga-1E_{a} = \sqrt{246\text{.}46^{2} + 51\text{.}28^{2}} = 251\text{.}74\ V

El ángulo de carga se calcula con la tangente inversa de los valores de los catetos del triángulo:

\delta = \tan^{-1}\left (\cfrac{51\text{.}28}{246\text{.}46} \right) = 11\text{.}75°

Perfecto, ya tenemos el ángulo de carga, vamos a la tabla que nos da el enunciado y podemos ver que para una E_{a} de 250V, tenemos un I_{f} de 2\text{.}5\ A, es un aproximado. ¡Así que ya tenemos nuestra respuesta!

\begin{array}{| c |} \hline E_{a} = 251\text{.}74 \ V\angle 11\text{.}75° \\ \hline I_{f} = 2\text{.}5 \ A
\\ \hline \end{array}

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