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Generador sincrónico. Determinar velocidad, corriente y ángulo de carga

El enunciado del ejercicio es el siguiente:

Un generador sincrónico, trifásico de $5 \text{kVA}$, $208 \sqrt{3} V$ de línea a línea, $4$ polos, $60 Hz$, conexión estrella, tiene una reactancia sincrónica $Xs = 8\Omega$. El generador opera a una red trifásica de $208\sqrt{3} V$ de línea a línea, $60 Hz$. La tabla muestra la característica de vacío del generador a $60 Hz$.

$$\begin{array}{| l | c | c | c | c | c |}
\hline
I_{F} (A) & 1 & 2 & 2\text{.}5 & 3 & 4 \\
\hline
E_{F} (V) & 100 & 200 & 250 & 280 & 300\\ \hline
\end{array}$$

A) ¿A qué velocidad ($rpm$) debe ser impulsado el eje del generador para poder conectarse a la red de $60 Hz$?

B) Calcule la corriente $I_{F}$ necesaria para que el generador entregue potencia a la red con corriente nominal y factor de potencia ($FP$) $0.8$ en adelanto. Determine el ángulo de carga $\delta$.

Inciso A. Determinemos la velocidad del generador sincrónico.

Para determinar la velocidad del generador sincrónico utilizaremos la siguiente fórmula:

$$Ns = \cfrac{2 \cdot 60 \cdot f}{P}$$

Donde:

  • $Ns$ es la velocidad en $rpm$ a la que debe de girar el aerogenerador
  • $f$ es la frecuencia a la que queremos que salga la señal del aerogenerador y
  • $P$ es el número de polos.

Sustituimos los valores que nos da el enunciado:

$$Ns = \cfrac{2 \cdot 60 \cdot 60}{4}$$

Y obtenemos nuestra velocidad:

$$\begin{array}{| c |}
\hline
Ns = 1800 \ \text{rpm}
\\ \hline
\end{array}$$

b) Calculemos la corriente necesaria $I_{f}$ y el ángulo de carga

Primero necesitamos determinar la corriente nominal, para eso usaremos la siguiente fórmula:

$$\left|I_{f} \right| = \left|I_{a}\right| = \cfrac{\left|P_{a} \right|}{\sqrt{3} \cdot V_{aLL}}$$

Donde:

  • $P_{a}$ es la potencia aparente del generador sincrónico y
  • $V_{aLL}$ es el voltaje línea – línea.

Sustitumos los términos:

$$\left|I_{f} \right| = \left|I_{a}\right| = \cfrac{5000}{\sqrt{3} \cdot 208 \cdot \sqrt{3}}$$

$$\begin{array}{| c |}
\hline
\left|I_{L} \right| = 8\text{.}01A
\\ \hline
\end{array}$$

Con la corriente nominal, podemos proceder a calcular la corriente de fase $I_{f}$, necesitamos la siguiente fórmula:

$$V_{a} = E_{a} – jX_{s} I_{a} $$

Donde:

  • $V_{a}$ es el voltaje de línea línea
  • $E_{a}$ es el voltaje real
  • $I_{a}$ es la corriente nominal

Pero el ángulo de carga se encuentra en $E_{a}$, así que necesitamos despejar la fórmula anterior:

$$E_{a} = V_{a} + jX_{s} I_{a}$$

Sustitumos los términos que nos dan en el enunciado:

$$E_{a} = 208 \angle 0° + j(8\Omega)(8\text{.}013)\angle -36\text{.}87°$$

Lo multiplicamos por el trigonométrico del ángulo:

$$E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013)\left( \cos (-36\text{.}87°) + j\sin (-36\text{.}87°) \right)$$

Multiplicamos el paréntesis para obtener lo siguiente:

$$E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013) \cos (-36\text{.}87°) + j(8\Omega)(8\text{.}013)\cdot j\sin (-36\text{.}87°)$$

$$E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013) \cos (-36\text{.}87°) + j^{2}(8\Omega)(8\text{.}013)\sin (-36\text{.}87°)$$

Recordemos que los números imaginarios tienen el valor de: $j = \sqrt{-1}$ y si los elevamos al cuadrado, su valor es de: $j^{2} = \left(\sqrt{-1}\right)^{2} = -1$, así que tenemos:

$$E_{a} = 208\angle 0 + j(8\Omega)(8\text{.}013) \cos (-36\text{.}87°) – (8\Omega)(8\text{.}013)\sin (-36\text{.}87°)$$

Tomamos calculadora recordando que esté en la función de grados, resolveremos la parte de trigonometría y después sumaremos reales con reales e imaginarios con imaginarios:

$$E_{a} = 208 + j51\text{.}28 – (-38\text{.}46)$$

$$E_{a} = 208 + j51\text{.}28 + 38\text{.}46$$

$$E_{a} = 246\text{.}46 + j51\text{.}28$$

Perfecto, utilizando le siguiente triángulo, podemos observar lo que tenemos qué hacer para hallar el ángulo de carga $\delta$:

ángulo-delta-carga-1$$E_{a} = \sqrt{246\text{.}46^{2} + 51\text{.}28^{2}} = 251\text{.}74\ V$$

El ángulo de carga se calcula con la tangente inversa de los valores de los catetos del triángulo:

$$\delta = \tan^{-1}\left (\cfrac{51\text{.}28}{246\text{.}46} \right) = 11\text{.}75°$$

Perfecto, ya tenemos el ángulo de carga, vamos a la tabla que nos da el enunciado y podemos ver que para una $E_{a}$ de $250V$, tenemos un $I_{f}$ de $2\text{.}5\ A$, es un aproximado. ¡Así que ya tenemos nuestra respuesta!

$$\begin{array}{| c |}
\hline
E_{a} = 251\text{.}74 \ V\angle 11\text{.}75° \\
\hline
I_{f} = 2\text{.}5 \ A
\\ \hline
\end{array}$$

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