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Generador sincrónico. Calcular corriente en estator, tensión de rotación, ángulo de carga delta y torque

El enunciado del ejercicio es el siguiente:

Un generador sincrónico trifásico de conexión estrella, con pérdidas despreciables, $4$ polos, tensión nominal de $13.2 \ kVLL$, $50 MVA$, reactancia sincrónica $Xs = 3 \Omega$, está conectado a una red de $13.2 \ kVLL$, $50 Hz$. La turbina entrega una potencia de $45 \ MW$ al eje. La corriente de campo ha sido ajustada para que el generador opere con un factor de potencia unitario. Determine:

A) La corriente en el estator $I_{a}$.

B) La tensión de rotación y el ángulo de carga $\delta$.

C) El torque desarrollado por la turbina.

Inciso A. Determinar la corriente por el estator $I_{a}$

Para determinar la corriente en el estator necesitamos la siguiente fórmula:

$$\left| I_{L} \right| = \left| I_{a} \right| = \cfrac{\left|P_{a} \right|}{\sqrt{3}V_{LL}}$$

Donde:

  • $P_{a}$ es la potencia aparente del generador sincrónico
  • $V_{LL}$ es el voltaje de línea – línea del generador

Sustituimos los términos y resolvamos:

$$\left| I_{L}\right| = \cfrac{50\text{,}000\text{,}000 \ VA}{\sqrt{3} \cdot 13200}$$

$$\begin{array}{| c |}
\hline
\left|I_{L} \right| = 2186\text{.}9 \ A
\\ \hline
\end{array}$$

Inciso B. Determinar la tensión de rotación y el ángulo de carga $\delta$

Para este ejercicio utilizaremos la fórmula siguiente:

$$V_{a} = E_{a} – jX_{s}I_{a}$$

Donde:

  • $V_{a}$ es el voltaje de $13200$ entre $\sqrt{3}$
  • $E_{a}$ es la tensión de rotación
  • $I_{a}$ es la corriente que circula por el estator

Y como se quiere trabajar con un factor de potencia unitario ($FP = 1$), no hay muchas modificaciones qué hacerle a la fórmula, vamos a despejar $E_{a}$ y a sustituir términos:

$$E_{a} = V_{a} + jX_{s}I_{a}$$

$$E_{a} = \cfrac{13200}{\sqrt{3}}\angle 0+ j(3)(2186\text{.}9)\angle 0$$

Simplificamos:

$$E_{a} = 7621 + j 6560$$

Para calcular el valor final de la tensión de rotación, necesitamos el siguiente triángulo:

potencia-reactiva-aparente-activa-2

Más visual con el triángulo anterior, la $E_{a}$ se calcula de la siguiente manera:

$$\sqrt{7621^{2} + 6560^{2}} = 10055$$

Ahora falta calcular el ángulo de carga de la tensión de rotación, se calcula de la siguiente manera, utilizando el triángulo dibujado anteriormente:

$$\delta = \tan^{-1} = \cfrac{6560}{7621} = 40\text{.}72°$$

Así que nuestra tensión de rotación y el ángulo de carga $\delta$ son los siguientes:

$$\begin{array}{| c |}
\hline
E_{a} = 10055\angle 40\text{.}72° \ V \\
\hline
\delta = 40\text{.}72°
\\ \hline
\end{array}$$

Inciso C. Calcular el torque de la turbina

Para el cálculo del torque de la turbina, necesitamos dos fórmulas:

$$\omega_{s} = \cfrac{4 \cdot \pi \cdot f}{P}$$

$$\tau_{ap} = \cfrac{P_{entrada}}{\omega_{s}}$$

Donde:

  • $\omega_{s}$ es la velocidad de rotación en radianes sobre segundo
  • $f$ es la frecuencia de la señal
  • $P$ es el número de polos
  • $\tau_{ap}$ es el torque en Newton – metro

Calculemos la velocidad de rotación:

$$\omega_{s} = \cfrac{4\cdot \pi \cdot 50}{4}$$

$$\omega_{s}=157\text{.}08 \ rad/s$$

Y finalmente calculemos el torque del generador:

$$\tau_{ap} = \cfrac{50\text{,}000\text{,}000VA}{157\text{.}08\ rad/s}$$

$$\begin{array}{| c |}
\hline
\tau_{ap} = 318\text{.}31\ kN\cdot m
\\ \hline
\end{array}$$

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