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Función de transferencia de diagramas de bloques | Ejercicio 1

Empezando a estudiar la manera de hallar la función de transferencia de un diagrama de bloques en sistemas de control se puede encontrar que se tiene que reducir por bloques hasta tener un sólo bloque para hallar la función de transferencia, esto es un poco complicado cuando se tiene un diagrama de bloques con muchos componentes. Déjame decirte que hallar la función de transferencia es mucho más fácil cuando utilizamos puras ecuaciones y nos olvidamos un rato del diagrama, esto es lo que te voy a explicar en este artículo, vamos directo con el ejemplo.

Calcular la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques

diagrama de bloques sistema de control

Para las integrales que se encuentran en el diagrama, hay que tener en cuenta a Laplace ya que la transformada de Laplace de las integrales de nuestro diagrama son iguales a $\frac{1}{s}$, sustituyamos en el diagrama:

diagrama de bloques ejercicio resuelto

Lo que haremos a continuación será nombrar las salidas de los comparadores (los círculos):

diagrama de bloques función de transferencia ejercicio resuelto

Como se puede apreciar en el diagrama anterior, agregamos nombres a las salidas, ahora que tenemos la salida $A$ y la salida $B$, vamos a plantear las ecuaciones.

Planteemos la ecuación para la salida $A$. La primera parte de la ecuación involucra a la ganancia de $3$, al bloque de $\frac{1}{s}$ y a la salida de $B$, y se considera como si todos esos componentes estuvieran unidos en serie, así que recordemos que los bloques que están conectados en serie se multiplican. Después se tiene que sumar la entrada de $x$. Finalmente se tiene que restar la salida $y$ (que en realidad la consideraremos como una entrada) para obtener nuestra ecuación para la salida $A$:

$$A = \cfrac{3B}{s} + x – y$$

Planteemos la ecuación para la salida $B$. Una de esas entradas incluye a la entrada $x$, finalmente se suma la otra entrada donde $A$ multiplica a $\frac{1}{s}$ ya que se consideran que están conectados en serie y la ecuación queda de la siguiente manera:

$$B = x + \cfrac{A}{s}$$

Vamos con la ecuación de la salida $y$. La salida $y$ tiene dos entradas, una de esas entradas es la multiplicación de la salida $B$ por el bloque $\frac{1}{s}$, luego hay que sumar la otra entrada la cual incluye a la ganancia $2$, a $\frac{1}{s}$ y a la salida $A$, se consideran que están conectados en serie y se multiplican, veamos cómo queda la ecuación de $y$:

$$y = \cfrac{B}{s} + \cfrac{2A}{s}$$

Ahora viene la parte que será tal vez la más tediosa, la parte donde muchos suelen confundirse, sí, viene la parte del álgebra. Lo único que hay que hacer ahora es obtener $\frac{y}{x}$ para hallar nuestra función de transferencia la cual sólo debe de tener términos de $s$. Vamos a empezar.

Lo que realizamos primero fue sustituir el $B$ de la ecuación de $A$:

$$A = \cfrac{3}{s} \left( x + \cfrac{A}{s} \right) + x – y$$

Multiplicamos el paréntesis:

$$A = \cfrac{3x}{s} + \cfrac{3A}{s^{2}} + x – y$$

Pasamos restando la fracción que tiene la $A$:

$$A – \cfrac{3A}{s^{2}} = \cfrac{3x}{s} + x – y$$

Factorizamos el $A$ y hacemos la suma de la fracción donde no hay términos de $A$:

$$A\left( 1 – \cfrac{3}{s^{2}}\right)= \cfrac{3x + sx – sy}{s}$$

Resolvemos la suma del paréntesis:

$$A\left(\cfrac{s^{2}-3}{s^{2}} \right) = \cfrac{3x + sx – sy}{s}$$

Cancelamos una $s$ de los denominadores y pasamos dividiendo el $s^{2} – 3$ y multiplicando a la $s$:

$$A = \cfrac{(3x + sx – sy)s}{s^{2} – 3}$$

Genial, ya tenemos la ecuación de $A$, esta ecuación la sustituiremos en la $A$ de la ecuación de $B$ para dejar la ecuación de $B$ igualada a algo que sólo tenga términos de $x$, $y$ y $s$ (que es lo mismo que hicimos para hallar $A$):

$$B = x + \cfrac{1}{s} A = x + \cfrac{1}{s} \left( \cfrac{(3x + sy – sy)s}{s^{2} – 3} \right)$$

Cancelamos las $s$ y tendremos la ecuación de $B$ con términos de $x$, $y$ y $s$:

$$B = x + \cfrac{3x + sx – sy}{s^{2} – 3}$$

Con las nuevas ecuaciones de $A$ y $B$, sustituiremos en la ecuación de $y$:

$$y = \cfrac{B}{s} + \cfrac{2A}{s}$$

$$y = \cfrac{1}{s} \left(x + \cfrac{3x + sx – sy}{s^{2} – 3} \right) + \cfrac{2}{s} \left( \cfrac{(3x + sx – sy)s}{x^{2} – 3} \right)$$

Multiplicaremos la fracción de $\frac{1}{s}$ y $\frac{2}{s}$:

$$y = \cfrac{x}{s} + \cfrac{3x + sx – sy}{s(s^{2} – 3)}+ \cfrac{6x + 2sx – 2sy}{s^{2} – 3}$$

Lo que haremos ahora es separar las fracciones para que sean muchas sumas de fracciones y podamos tener fracciones que tienen un monomio en el numerador que sólo tienen $x$ y $y$, no importa si están o no están acompañadas con una $s$, también se multiplicó $s(s^{2} – 3)$ que es igual a $s^{3} – 3s$:

$$y = \cfrac{x}{s} + \cfrac{3x}{s^{3} – 3s} + \cfrac{sx}{s^{3} – 3s} – \cfrac{sy}{s^{3} – 3s} + \cfrac{6x}{s^{2} – 3} + \cfrac{2sx}{s^{2} – 3} – \cfrac{2sy}{s^{2} – 3}$$

Ahora lo que haremos es pasar todas las $y$ de un lado de la igualdad y dejaremos las $x$ del otro lado de la igualdad:

$$y + \cfrac{sy}{s^{3} – 3s} + \cfrac{2sy}{s^{2} – 3} = \cfrac{x}{s} + \cfrac{3x}{s^{3} – 3s} + \cfrac{sx}{s^{3} – 3s} + \cfrac{6x}{s^{2} – 3} + \cfrac{2sx}{s^{2} – 3}$$

Factorizaremos las $x$ y las $y$:

$$y\left(1 + \cfrac{s}{s^{3} – 3s} + \cfrac{2s}{s^{2} – 3} \right) = x\left( \cfrac{1}{s} + \cfrac{3}{s^{3} – 3s} + \cfrac{s}{s^{3} – 3s} + \cfrac{6}{s^{2} – 3} + \cfrac{2s}{s^{2} – 3}\right)$$

Lo que haremos en el paréntesis donde está la $y$ es hacer la suma de fracciones y en el paréntesis donde está la $x$ sumaremos sólo las fracciones que tienen denominadores iguales:

$$y\left( \cfrac{(s^{2} – 3)(s^{3} – 3s) + (s^{2} – 3)(s) + (s^{3} – 3s)(2s)}{(s^{2} – 3)(s^{3} – 3s)} \right) = x\left( \cfrac{1}{s} + \cfrac{3 + s}{s^{3} – 3s} + \cfrac{6 + 2s}{s^{2} – 3} \right)$$

Por el momento vamos a tomar por separado la ecuación, simplifiquemos primero el paréntesis del lado donde está la $y$, multiplicaremos los paréntesis del numerador:

$$y\left( \cfrac{s^{5} – 3s^{3} – 3s^{3} + 9s + s^{3} – 3s + 2s^{4} – 6s^{2} }{(s^{2} – 3)(s^{3} – 3s)} \right) = $$

Sumemos y restemos términos:

$$y\left( \cfrac{s^{5} + 2s^{4} – 5s^{3} – 6s^{2} + 6s}{(s^{2} – 3)(s^{3} – 3s)} \right) = $$

Ahora tomemos el lado de la ecuación donde tenemos el paréntesis donde se encuentra $x$, realicemos la suma de fracciones:

$$= x\left( \cfrac{(s^{3} – 3s)(s^{2} – 3) + s(3 + s)(s^{2} – 3) + s(s^{3} – 3s)(6 + 2s)}{s(s^{3} – 3s)(s^{2} – 3)}\right)$$

Multiplicando los paréntesis del numerador, tendremos:

$$= x\left( \cfrac{s^{5} – 3s^{3} – 3s^{3} + 9s +  3s^{3} – 9s + s^{4} – 3s^{2} + 6s^{4} + 2s^{5} – 18s^{2} – 6s^{3}}{s(s^{3}  – 3s)(s^{2} – 3)}\right)$$

Reduzcamos términos:

$$= x \left( \cfrac{3s^{5} + 7s^{4} – 9s^{3} – 21s^{2}}{s(s^{3} – 3s)(s^{2} – 3)} \right)$$

Ahora que ya tenemos las fracciones lo más reducidas posibles, vamos a escribir toda la ecuación de nuevo:

$$y\left( \cfrac{s^{5} – 2s^{4} – 5s^{3} – 6s^{2} + 6s}{(s^{2} – 3)(s^{3} – 3s)} \right) = x \left( \cfrac{3s^{5} + 7s^{4} – 9s^{3} – 21s^{2}}{s(s^{3} – 3s)(s^{2} – 3)} \right)$$

Cancelamos los binomios de los denominadores:

$$y\left( s^{5} – 2s^{4} – 5s^{3} – 6s^{2} + 6s \right) = x \left( \cfrac{3s^{5} + 7s^{4} – 9s^{3} – 21s^{2}}{s} \right)$$

Lo que haremos ahora es pasar dividiendo la $x$ a $y$ y el polinomio del paréntesis donde está $y$ lo pasaremos dividiendo:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{3s^{5} + 7s^{4} – 9s^{3} – 21s^{2}}{s(s^{5} – 2s^{4} – 5s^{3} – 6s^{2} + 6s)}$$

Factorizaremos una $s^{2}$ en el polinomio del numerador y factorizando una $s$ en el denominador la multiplicaremos con la $s$ que ya teníamos para que sea una $s^{2}$ en el denominador:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{s^{2}(3s^{3} + 7s^{2} – 9s – 21)}{s^{2}(s^{4} + 2s^{3} – 5s^{2} – 6s + 6)} $$

Cancelamos las $s^{2}$:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{3s^{3} + 7s^{2} – 9s – 21}{s^{4} + 2s^{3} – 5s^{2} – 6s + 6}$$

A partir de aquí prestemos un poco más de atención, vamos a realizar una factorización que casi no suele hacerse, reordenaremos los términos del numerador y del denominador:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{3s^{3} – 9s + 7s^{2} – 21}{s^{4} – 3s^{2} + 2s^{3} – 6s – 2s^{2} + 6}$$

Seguidamente lo que haremos es factorizar lo necesario para lograr hacer que tengamos un binomio $(s^{2} – 3)$ en cada suma y resta:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{3s(s^{2} – 3) + 7(s^{2} – 3)}{s^{2}(s^{2} – 3) + 2s(s^{2} – 3) – 2(s^{2} – 3)}$$

Este es el momento donde haremos la factorización no muy usual, es muy fácil de comprenderla, consideramos que $(s^{2} – 3)$ es otra letra o cosa, llamemos a $(s^{2} – 3)$ el término carita feliz $(\text{c:})$, entonces vamos a reescribir la ecuación sustituyendo $(s^{2} – 3)$ por el término carita feliz $(\text{c:})$:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{3s (\text{c:}) + 7(\text{c:})}{s^{2}(\text{c:}) + 2s(\text{c:}) – 2(\text{c:})}$$

Ahora resulta más fácil de comprender, factoricemos el término carita feliz para obtener lo siguiente:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{(\text{c:})(3s+7)}{(\text{c:})(s^{2} + 2s – 2)}$$

Sustituimos de vuelta el término carita feliz por $(s^{2} – 3)$:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{(s^{2} – 3)(3s+7)}{(s^{2} – 3)(s^{2} + 2s – 2)}$$

Cancelamos los binomios de $(s^{2} – 3)$:

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{(3s+7)}{(s^{2} + 2s – 2)}$$

¡Y finalmente ya tenemos calculada nuestra función de transferencia para el diagrama de bloques!

$$\cfrac{y}{x} = \cfrac{3s + 7}{s^{2} + 2s – 2}$$

Nota:

Lo complicado de calcular la función de transferencia para estos diagramas de bloques en realidad es el álgebra, hay que tener cuidado con algún signo o con algún número que no coloquemos u olvidemos por ahí en el camino, pero en sí es sencillo, tranquil@. Si quieres saber más a cerca de estos temas puedes leer el siguiente libro:

Ogata, K. (2003). Ingeniería de control moderna, Madrid, España, Madrid: Pearson Educación, S.A.

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