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Diagramas de Venn – ¡Explicação e exemplos! 🔴🔵

Explicação simples do que é o diagrama de Venn. Operações básicas dos conjuntos representados com diagramas de Venn, exemplos de diagramas de Venn e, finalmente, vamos a ver fórmulas de contagem importantes! Algumas lousas muito boas já são utilizadas para realizar este tipo de exercícios de uma forma mais prática e visível.

O que é um Diagrama de Venn?

Simples, é a representação gráfica dos conjuntos.

Operações básicas dos conjuntos

União em Diagramas de Venn (\cup)

É o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. Quer dizer:

A \cup B = \{ x:x \in A\lor x \in B\}

conjunto-diagrama-de-venn-unión

A \cup B

Intersecção em diagramas de Venn (\cap)

É o conjunto de elementos que pertencem a A e B. Isso significa que apenas a parte que os conjuntos compartilham é desenhada:

A \cap B = \{ x:x \in A \land x \in B\}

intersección-diagrama-de-venn

A \cap B

Complemento de um conjunto (^{\text{C}})

É o conjunto de elementos que pertencem ao universo que não faz parte de A. Em outras palavras:

A^{\text{C}} = \{ x:x\in U, x \notin A\}

diagramas-de-venn-complemento-ejemplo

A^{\text{C}}

Diferença nos diagramas de Venn (-)

É o conjunto gerado removendo os elementos presentes no segundo conjunto:

A-  B = \{ x:x \in A, x \notin B\}

diagramas-de-venn-diferencia-de-conjuntos

A- B

Exemplo de conjuntos com diagramas de Venn

Suponha que o Universo seja definido da seguinte forma:

U = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

E os seguintes conjuntos são delimitados:

A = \{ 1,2,3,4\}, \ B = \{ 3,4,5,6,7\}, \ C = \{ 2,3, 8,9\}

O diagrama de Venn é representado da seguinte forma:

diagrama-de-venn-ejemplo-con-números

Perfeito, vamos começar com os exemplos do Diagrama de Venn

Primeiro Exemplo de Diagrama de Venn

Faça a união do conjunto A com o conjunto B e a união do conjunto B com o conjunto C:

A \cup B \cup C

Fazendo o acima, os números que teríamos são os seguintes:

\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

diagrama-de-venn-ejemplo

A \cup B \cup C

Segundo exemplo de diagrama de Venn

Faça a interseção do conjunto A com o conjunto B e a interseção do conjunto B com o conjunto C:

A \cap B \cap C

Fazendo o que foi dito acima, o número que resta é apenas um, pois é o que os três conjuntos têm em comum:

\{ 3\}

diagramas-de-venn-ejemplo

A \cap B \cap C

Terceiro Exemplo de Diagrama de Venn

Completa o conjunto A menos a interseção do conjunto B com o conjunto C:

A^{\text{C}} - (B \cap C)

É importante seguir as etapas em ordem:

1. Os parênteses são priorizados, então B \cap C é feito primeiro:

diagramas-de-venn-ejemplos

B \cap C

2. Observamos o complemento de A :

diagrama-de-venn-ejemplo

A^{\text{C}}

3. Finalmente fazer a diferença A^{\text{C}} - (B \cap C)

diagramas-de-venn-resultado

A^{\text{C}} - (B \cap C)

Resultado:

\{ 5,6,7,8,9,10\}

Fórmulas de contagem do diagrama de Venn

Se n(A), n(B) e n(C) são o número de elementos que compõem os conjuntos A, B e C respectivamente, então as fórmulas do diagrama de Venn são:

  • n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
  • n(A - B)=n(A) - n(A \cap B)
  • n(A^{\text{C}}) = n(U) - n(A)
  • n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)

Obrigado por estar connosco neste momento : )

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