Entre tantos teoremas de probabilidad, aquí presentamos uno que muchos hemos escuchado, el muy conocido Teorema de Bayes. Por eso te hemos traído una explicación y un ejemplo para ilustrar la explicación.
Vamos con la explicación del Teorema de Bayes
Tenemos varios eventos que son $A_{1},A_{2},A_{3},..,A_{k},..,A_{n}$, que forman una partición con $S$, y $E$ es un evento cualquiera. Si aplicamos lo antes visto en la fórmula de probabilidad condicional:
$$P(A_{k}|E) = \cfrac{P(A_{k}\cap E)}{P(E)} = \cfrac{P(A_{k})P(E|A_{k})}{P(E)}$$
La parte $P(A_{k}|E)$ de la fórmula anterior se lee:
La probabilidad de que haya sido $A_{k}$ dado que ya sucedió $E$
Fórmula del Teorema de Bayes
Si consideramos la fórmula anterior obtenida para calcular la probabilidad total de $E$, se tiene que aplicar la sumatoria que se muestra a continuación para calcular la probabilidad total de $E$ ya que se tienen varios casos en los ejercicios que requieren el uso de esta fórmula, lo que se muestra a continuación es la Fórmula del Teorema de Bayes:
$$P(A_{k}|E) = \cfrac{P(A_{k})P(E|A_{k})}{\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(E|A_{i})}$$
La sumatoria del denominador se lee así:
La suma de la probabilidad de $A_{i}$ multiplicado por la probabilidad de que sea $E$ dado que ya ocurrió $A_{i}$.
Teorema de Bayes, ejercicio
La compañía $X$ usa cuatro empresas de transporte: $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ y $A_{4}$. Se sabe que 20% de los embarques se asignan a la empresa $A_{1}$, 25% a la $A_{2}$, 40% a la $A_{3}$ y 15% a la $A_{4}$. Los embarques llegan retrasados a sus clientes en 7% si los entrega $A_{1}$, 8%si es $A_{2}$, 5% si es $A_{3}$ y 9% si es $A_{4}$. Si sabemos que el embarque de hoy fue entregado con retraso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido la empresa $A_{1}$ la encargada de hacerlo?
Muchas personas de ustedes ya sabrán rápidamente cómo resolver este ejercicio, pero vamos a explicarlo paso a pasito. Vamos a representar la información en la siguiente tabla:
$$\begin{array}{| c | c |}
\hline
\text{Embarques} & \text{Entrega} \\
\hline
A_{1} = 20 \% & \text{Retraso (R)} = 7\% \\
A_{2} = 25\% & \text{Retraso (R)} = 8\% \\
A_{3} = 40\% & \text{Retraso (R)} = 5\% \\
A_{4} = 15\% & \text{Retraso (R)} = 9\% \\
\hline
\end{array}$$
El equipo de logística nos está informando desde la cabina que llegó un encargo y se retrasó, y como lo que queremos saber es si fue la empresa $A_{1}$, en otras palabras, saber si fue $A_{1}$ debido a que ya se retrasó, entonces utilizaremos la fórmula del teorema de Bayes:
$$P(A_{1}|R) = \cfrac{P(A_{1})P(R|A_{1})}{\sum_{i=1}^{4}P(A_{i})P(R|A_{i})}$$
$n$ es igual a 4 porque vamos a representar la probabilidad del retraso de las 4 empresas. Vamos a hallarla:
$$\sum_{i=1}^{4}P(A_{i})P(R|A_{i}) = P(A_{1})P(R|A_{1}) $$ $$+ P(A_{2})P(R|A_{2}) + P(A_{3})P(R|A_{3}) + P(A_{4})P(R|A_{4})$$
Con la tabla escrita, es más fácil colocar los valores, mira la sumatoria con los valores de la tabla:
$$\sum_{i=1}^{4}P(A_{i})P(R|A_{i}) = (20\%)(7\%) $$ $$+ (25\%)(8\%) + (40\%)(5\%) + (15\%)(9\%)$$
Puedes agarrar una calculadora para agilizar el proceso de multiplicar y sumar:
$$ P = (E) = \sum_{i=1}^{4}P(A_{i})P(R|A_{i})$$ $$ = \cfrac{7}{500} + \cfrac{1}{50} + \cfrac{1}{50} + \cfrac{27}{2000} = \cfrac{27}{400}$$
Sólo falta calcular la probabilidad del numerador de la fórmula del Teorema de Bayes, la cual tiene $P(A_{1})$ que es $20\%$ y tiene $P\left( \frac{E}{A_{1}} \right)$ que es la probabilidad de que haya llegado con retraso si ya ocurrió que llegó en el embarque $A_{1}$ que tiene una probabilidad de $7\%$. Ahora sí, sustituyamos todos estos valores en la fórmula del Teorema de Bayes:
$$P(A_{1}|E) = \cfrac{\cfrac{20}{100} \cdot \cfrac{7}{100}}{\cfrac{27}{400}} = \cfrac{28}{135}=0.2074$$
Así que la probabilidad de que llegue una embarcación con retraso y además venga de la embarcación $A$ es de $0.2074$ que es igual al $20.74\%$
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