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Explicación y ejemplos de la distribución geométrica

La distribución geométrica tiene un gran parecido con la distribución binomial ya que también consiste en una serie de ensayos donde pueden ocurrir éxitos o fracasos. Además, cada ensayo es idéntico e independiente del otro, sin embargo, no hay un número fijo $n$ de ensayos, sino que el experimento se repite hasta que se consiga el éxito.

Todo esto explicado quiere decir que:

$$P[X=1]=P[\text{éxito en el 1er ensayo}]=p$$

$$P[X=2] = P[\text{fracaso en el 1er ensayo y éxito en el 2do}]=$$

$$P[\text{fracaso en el 1ero}]P[\text{éxito en el segundo}]=(1-p)(p)$$

Efectuando esto, sucesivamente:

$$P[X = 3] =(1-p)(1-p)p$$

$$P[X = k] = (1-p)^{k – 1}p$$

El caso cuando $X = 2$ o cuando $X = 3$, etc. quiere decir que yo quiero obtener el éxito en el ensayo número 2 o 3, por lo tanto, se debió de haber fracasado en los ensayos anteriores. Si yo quiero el éxito en el ensayo 2, se tuvo que haber fracasado en el primer ensayo, esto es lo que explica a la ecuación que se escribió arriba de $P[X=2]$. Lo mismo pasa cuando $X=3$, si yo quiero el éxito sólo en el ensayo 3, se tuvo que haber fracasado en el primer ensayo y en el segundo ensayo. Todo se aclarará más cuando vayamos a los ejemplos

Propiedades de la distribución geométrica

Esperanza:

$$E(X) = \cfrac{1}{p}$$

Varianza:

$$Var(X) = \cfrac{1 – p}{p^{2}}$$

Distribución acumulada:

$$F(k) = 1 – q^{k}$$

Si queremos el éxito en todos los ensayos, utilizaremos la fórmula siguiente:

$$P(k > r) = q^{r}$$

Primer ejemplo de la distribución geométrica, resuelto

En un torneo de fútbol, “Un País” tiene una probabilidad de 60% de ganar un partido. “Un País” juega hasta perder.

  • Encuentra la probabilidad de que “Un País” juegue al menos 4 partidos.

Para que juegue 4 partidos, tiene que ganar 3 partidos, no importa si pierde o gana en el cuarto partido porque lo que se está contando es que va a jugar 4 partidos o más, pero para que pueda jugar 4 partidos o más tiene que haber ganado sí o sí los anteriores 3 partidos. Y la probabilidad se calcula de la siguiente manera:

$$P = P(k > 3) = (0.6)^{3} = 0.216$$

Así que la probabilidad de “Un País” para que juegue al menos 4 partidos es de 0.216

  • Encuentra la probabilidad de que “Un País” gane el torneo si hay 64 equipos inscritos.

Para que gane el torneo, debe ganar 6 partidos. Es fácil saber que tiene que ganar 6 partidos porque son 64 equipos, entonces el primer partido se juega cuando están los 64, el segundo partido cuando quedan 32, el tercero cuando quedan 16, el cuarto cuando quedan 8, el quinto cuando quedan 4 y el sexto partido se juega cuando quedan sólamente 2 equipos, por lo tanto, el sexto partido también lo debe de ganar para ganar el torneo.

Como la probabilidad de que “Un País” gane un partido es de 60%, la probabilidad de que gane el torneo se calcula de la siguiente manera:

$$P=(0.6)^{6} = 0.0467$$

Finalmente, la probabilidad de que “Un País” gane el torneo es de 0.0467.

Segundo ejemplo resuelto de distribución geométrica

Al grabar un comercial de televisión, la probabilidad es 0.30 de que cierto actor dirá sus líneas correctamente en una toma cualquiera.

  • ¿Cuál es la probabilidad de que diga correctamente sus líneas por primera vez en la sexta toma?

Para que al actor se le haga una sexta toma, tuvo que haberse equivocado en las 5 tomas anteriores. Primero hay que calcular la probabilidad de que NO diga correctamente sus líneas, eso se calcula restando al entero la probabilidad de que diga correctamente sus líneas:

$$1 – 0.3 = 0.7$$

Bien, la probabilidad de que no diga correctamente sus líneas es de 0.7. Falta calcular la probabilidad de que se haya confundido en las primeras 5 tomas, eso se calcula así:

$$(0.7)^{5} = 0.168$$

Como ya calculamos la probabilidad de que se confunda en las primeras 5 tomas, falta calcular la probabilidad de que diga sus líneas correctamente en la sexta toma, eso se calcula multiplicando la probabilidad de que haya dicho mal sus líneas las primeras 5 tomas por la probabilidad de que diga su línea correctamente en la sexta toma:

$$(0.168)(0.3) = 0.0504$$

Así que la probabilidad de que el actor haya dicho sus líneas correctamente en la sexta toma es de 0.0504

  • ¿Cuál es el número promedio de tomas que se requieren para que el actor diga correctamente sus líneas?

Para determinar el número promedio de tomas que se requerirán, sólo se tiene que aplicar la ecuación de la esperanza de la distribución geométrica:

$$E[X] = \cfrac{1}{p}$$

Donde $p$ es la probabilidad de que le salgan bien sus líneas:

$$E[X] = \cfrac{1}{0.3} = \cfrac{10}{3} = 3.33$$

Por lo tanto, el número promedio de tomas que se requerirán es de 3.33, se tendría que dejar en enteros ya que se hacen tomas completas, así que en promedio se requerirán 3 tomas.

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