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Ejercicios de permutaciones

Vamos a empezar con un ejercicio de permutaciones, el enunciado es el siguiente:

Si se toman cuatro de las siete letras de la palabra CHANGOS para formar una palabra (sin importar si la palabra tiene o no sentido), calcula el número de palabras que se pueden hacer con 4 letras con las condiciones que veremos a continuación.

Para cada uno de los incisos que veremos a continuación, armemos una cajita con 4 casillas para visualizar más fácil el ejercicio.

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

Primer ejemplo de permutaciones

Las palabras deben llevar la letra S.

Lo que se hace primero es colocar la letra que ya nos dice el inciso en cualquier casilla de la cajita, la colocaremos en la primera casilla:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad S \quad & \qquad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

Y después lo que se hizo fue rellenar las casillas con las otras letras de la palabra CHANGOS, ¿pero cómo se hace eso? Primero observemos que ya acomodamos la letra S en las casillas, ¿y cuántas letras S tenemos en la palabra CHANGOS? Tenemos sólo 1 letra S. Por lo tanto, escribiremos el número 1 en cualquiera de las casillas, en este caso como ya pusimos la S en la primera casilla, pondremos el 1 en la primera casilla:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 1 \quad & \qquad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

Y como la letra S ya la tenemos ocupada, eso quiere decir que ahora sólo nos quedan 6 letras de la palabra CHANGOS, lo que significa que en la siguiente casilla irá cualquiera de las 6 letras, en la siguiente cualquiera de las 5 letras que quedan y en la siguiente casilla cualquiera de las 4 letras que quedan:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 1 \quad & \quad 6 \quad & \quad 5 \quad & \quad 4\quad \\
\hline
\end{array}
$$

Pero ¡oh sorpresa! Resulta que la letra S la acomodamos solamente en la primera casilla, lo que queremos decir es que la letra S igual puede ocupar el lugar en la segunda casilla, en la tercera casilla y en la cuarta casilla, visualmente me refiero a lo siguiente:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 1 \quad & \quad 6 \quad & \quad 5 \quad & \quad 4\quad \\
\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 6 \quad & \quad 1 \quad & \quad 5 \quad & \quad 4\quad \\
\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 6 \quad & \quad 5 \quad & \quad 1 \quad & \quad 4\quad \\
\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 6 \quad & \quad 5 \quad & \quad 4 \quad & \quad 1\quad \\
\hline
\end{array}
$$

Así que la cantidad de maneras en las que podemos ordenar una palabra de 4 letras que sí o sí tenga que llevar la letra S se calcula de la siguiente manera:

$$1\cdot 6\cdot 5\cdot 4$$

Pero recordando que la S puede tomar cualquier lugar de las 4 casillas, tenemos que multiplicar por 4:

$$1\cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 4 = 480$$

Eso quiere decir que hay 480 maneras de escribir una palabra de 4 letras si sí o sí debe de llevar la letra S.

Segundo ejemplo de permutaciones

Las palabras tienen que empezar con G y terminar en vocal.

Lo que se hizo primero fue colocar la letra G en la primera de las 4 casillas y luego se colocó una de las dos vocales en la última casilla:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad G \quad & \qquad & \qquad & \quad A \quad \\
\hline
\end{array}
$$

Seguidamente lo que se observó es que sólo tenemos una letra G y dos vocales, por lo tanto, en números se vería de la siguiente manera:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 1 \quad & \qquad & \qquad & \quad 2 \quad \\
\hline
\end{array}
$$

Y como ya tenemos separadas dos letras, eso quiere decir que en cualquiera de las otras dos casillas sobrantes irá cualquiera de las 5 letras sobrantes y en la siguiente irá cualquiera de las 4 letras sobrantes:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 1 \quad & \quad 5 \quad & \quad 4 \quad & \quad 2 \quad \\
\hline
\end{array}
$$

Multiplicando, obtendremos:

$$1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40$$

El resultado es que 40 palabras se pueden hacer si se empieza con la letra G y se termina en vocal.

Tercer ejemplo de permutaciones

Las palabras tienen que empezar con la letra G e incluir a la N.

Primero vamos a colocar cada una de las dos letras para que ocupen una casilla cada una, la G sí o sí va en la primera casilla y la N se puede colocar en cualquiera de las tres casillas, veamos:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad G \quad & \quad N \quad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

Ahora lo que se observó es que sólo quedan 5 letras de la palabra CHANGOS, se ordenaron esas 5 letras en las casillas restantes:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 1 \quad & \quad 1 \quad & \quad 5 \quad & \quad 4 \quad \\
\hline
\end{array}
$$

Pero resulta que la N puede estar en cualquiera de las 3 casillas en las que no está la G. Mira, visualmente la N puede estar en cualquiera de las siguientes tres casillas:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\qquad & \quad N \quad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\qquad & \qquad & \quad N \quad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\qquad & \qquad & \qquad & \quad N \quad \\
\hline
\end{array}
$$

Así que tenemos que multiplicar por 3:

$$1\cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$$

Son 60 palabras las que se pueden hacer si se empieza con la letra G y se incluye a la N.

Cuarto ejemplo de permutaciones

La palabra debe de contener a las dos vocales

Se visualizó que como sólo se tienen dos vocales, por lógica, una vez que se utilice una, ya no se puede utilizar la otra vocal, por lo tanto, se acomodó las casillas para las dos vocales de la siguiente manera:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad A \quad & \quad O \quad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad O \quad & \quad A \quad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

Representándolo con números, queda de la siguiente manera:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 2 \quad & \quad 1 \quad & \qquad & \qquad \\
\hline
\end{array}
$$

Luego se ordenaron las otras 5 letras de la palabra CHANGOS en las otras casillas:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\quad 2 \quad & \quad 1 \quad & \quad 5 \quad & \quad 4 \quad \\
\hline
\end{array}
$$

¡PERO AQUÍ NO TERMINA EL EJERCICIO! Resulta que esas dos casillas de las vocales las podemos colocar en cualquier orden, así que como no llevan una posición establecida, tenemos que aplicar combinaciones para saber la cantidad de (valga la redundancia) combinaciones en las que se pueden colocar esas dos casillas en las posiciones. Podemos tomar la calculadora para (otra vez valga la redundancia) calcular la cantidad de combinaciones que pueden tomar dos casillas de las 4 posibles o podemos usar fórmula para calcular las combinaciones:

$$C(4,2) = 4\text{C}2 = \left ( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right)=  \cfrac{4!}{2!\left(4-2\right)!} = 6$$

Pero como se tienen dos vocales, quiere decir que $6$ hay que multiplicarlo por $2$:

$$6 \cdot 2 = 12$$

La multiplicación final quedará de la siguiente manera:

$$2\cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 12 = 480$$

Eso quiere decir que 480 palabras se pueden hacer si la palabra tiene que tener las dos vocales.

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