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Ejercicio de combinaciones

Empecemos con el inciso de este ejercicio de combinaciones:

Una universidad desea organizar una serie de conferencias para 15 personas en tu Estado favorito. El problema es que el hotel está saturado, por lo que sólo consiguieron tres cuartos de diferentes tamaños. En la suite presidencial decidieron acomodar a 6 participantes, en una junior a 5 y en un cuarto doble a otros 4. El comité organizador desea saber de cuántas maneras es viable acomodar a los asistentes.

Para la realización de este ejercicio de combinaciones, se tomó en cuenta que se tienen tienen que realizar 3 combinaciones. La primera combinaciones es con respecto a la habitación de la suite, la segunda es con respecto a la habitación de la junior y la tercera es con respecto al cuarto doble.

Recordemos la fórmula de combinaciones:

$$C(n,r)=\left( \begin{array}{c}n\\r \end{array} \right) = \cfrac{n!}{r!\left(n – r\right)!}$$

Vamos a representar todo los cálculos mencionados en una tablita:

$$
\begin{array}{| c | c | c |}
\hline\\
\text{Suite} & \text{Junior} & \text{Doble} \\\\
\hline
\\
\text{C}(15,6) = \left( \begin{array}{c}15\\6 \end{array}\right) & \text{C}(9,5) = \left( \begin{array}{c}9\\5 \end{array}\right) & \text{C}(4,4) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}\right)\\\\
\hline
\\
\ \left(\cfrac{15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6!} \right) \ & \ \left(\cfrac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{5!} \right) \ & \ \left( \cfrac{4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}{4!} \right) \ \\\\
= 5005 & = 126 & = 1 \\\\
\hline
\end{array}
$$

Expliquemos los cálculos hechos en la tablita de arriba. Como empezamos a acomodar a las personas en la Suite, eso quiere decir que tenemos $15$ personas para acomodar pero sólo hay $6$ espacios, así que se aplicó combinaciones para saber de cuántas maneras se pueden acomodar $15$ personas en $6$ espacios.

Una vez que acomodamos a las $6$ personas en la suite, quedarán $9$ personas para acomodar en cualquiera de las otras dos habitaciones y como la siguiente habitaciones que escogimos es la junior, entonces se aplicaron combinaciones para saber de cuántas maneras se pueden acomodar a $9$ personas en $5$ espacios.

Finalmente, después de acomodar a esas $5$ personas, nos quedarán $4$ personas para acomodar en la habitación doble, así que se aplicaron combinaciones para saber de cuántas maneras se pueden acomodar $4$ personas en $4$ espacios.

Los valores obtenidos los tenemos que multiplicar para obtener el total de maneras viables de acomodar a los asistentes:

$$(5005)(126)(1)= 630630$$

Así se obtiene que tenemos 630630 maneras viables de acomodar a los asistentes en las tres habitaciones.

No importa si empiezas a acomodar con la junior o con la doble, el resultado va a ser siempre el mismo ¡Compruébalo!

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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