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Segundo ejercicio de combinaciones

El primer ejemplo de combinaciones es este.

Recordemos nuestra fórmula de combinaciones

$$C(n,r)=\left( \begin{array}{c}n\\r \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n\\ n – r \end{array} \right)$$

Empecemos con el inciso de nuestro segundo ejemplo de combinaciones:

De una urna, con $6$ bolas blancas numeradas de 1 hasta 6 y $7$ negras de 1 hasta 7, se sacan, al mismo tiempo, 4. ¿Qué probabilidad hay de obtener:

Bolas con números cuyo producto es par?

Para que se cumpla que el producto sea par, se tiene que cumplir lo siguiente que se observa en la siguiente tabla:

$$
\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\text{PAR} & \text{PAR} & \text{PAR} & \text{PAR} \\
\hline
\text{PAR} & \text{PAR} & \text{PAR} & \text{IMPAR} \\
\hline
\text{PAR} & \text{PAR} & \text{IMPAR} & \text{IMPAR} \\
\hline
\text{PAR} & \text{IMPAR} & \text{IMPAR} & \text{IMPAR} \\
\hline
\end{array}
$$

Razonemos un poquito para saber si el resultado va a ser par.

  • Si multiplicamos 4 números pares, el resultado siempre va a ser un número par.
  • Si multiplicamos 3 números pares y 1 número impar, el resultado siempre va a ser un número par.
  • Si multiplicamos 2 números pares y 2 impares, el resultado siempre va a ser un número par.
  • Finalmente, si multiplicamos 1 número par y 3 números impares, el resultado siempre va a ser un número par.

Si necesitas hacer una tabla para visualizar mejor las bolas, dibuja una tabla o las urnas, nosotros hicimos la siguiente tabla:

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Bolas blancas} & \text{Bolas negras}\\
\hline
1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 & 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7\\
\hline
\end{array}
$$

Y como tenemos sólo 4 maneras de hacer que el producto dé como resultado un número par, hemos puesto los 4 casos de la siguiente manera con las operaciones ya hechas:

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{# de caso} &\text{Caso con letras} & \text{Caso con números}\\
\hline
\hline
1 &\text{Todos pares} & 6\text{C}4= 15 \\
\hline
2 &\text{tres pares y un impar} & 6\text{C}3*7\text{C}1= 140\\
\hline
3 &\text{Dos pares y dos impares} & 6\text{C}2* 7\text{C}2 = 315\\
\hline
4 &\text{Un par y tres impares} & 6\text{C}1*7\text{C}3 = 210\\
\hline
\end{array}
$$

Consideremos que del total de las $13$ bolas, tenemos $6$ con número par y $7$ con número impar.

  • Como en el caso 1 tienen que ser pares todos los números de las bolas y en total sólo tenemos $6$ bolas que tienen números pares, se efectuó la operación $6\text{C}4$ que nos da como resultado $15$ combinaciones.
  • En el caso 2 se necesitan $3$ pares y $1$ impar, entonces lo que se tiene que hacer es combinaciones de $3$ bolas pares y combinaciones de $1$ bola impar, en términos matemáticos es $6\text{C}3*7\text{C}1$ que da como resultado $140$.
  • En el caso 3 se necesitan $2$ pares y $2$ impares, así que fácilmente se aplican combinaciones de $2$ bolas pares y combinaciones de $2$ bolas impares, matemáticamente se haría $6\text{C}2*7\text{C}2$ que da como resultado $315$.
  • En el último caso tiene que salir $1$ bola con número par y $3$ con número impar, simplemente aplicamos $6\text{C}1*7\text{C}3$ que da como resultado $210$.

Todos los resultados que acabamos de obtener los tenemos que sumar, para tener un total de $680$. Después lo que se tiene que hacer es aplicar combinaciones para saber todos los casos posibles que hay de sacar $4$ bolas de las $13$ que hay, así que aplicando $13C4$ da como resultado $715$ combinaciones.

Finalmente lo que se tiene que hacer es dividir la suma de todas las combinaciones calculadas entre el número de combinaciones que se pueden obtener de $4$ bolas de las $13$:

$$\cfrac{680}{715} = 0.951$$

Así que la probabilidad de sacar 4 bolas cuyo producto sea par es de 0.951

Bolas con números menores a 2?

La respuesta es la siguiente:

En este caso la probabilidad es nula ya que sólo contamos con dos bolas que sean menores de 2, o sea las bolas con el número 1.

Bolas con números mayores a 2?

Este inciso es bastante sencillo porque lo único que se tiene que hacer es descartar las $4$ bolas que tienen números menores o iguales a $2$. En vez de tener 13 bolas, ahora tendremos 9 bolas y aplicaremos la siguiente combinación:

$$9\text{C}4=126$$

Y el resultado obtenido se tiene que dividir entre $715$ que es el total de combinaciones que hay de sacar $4$ bolas de las $13$:

$$\cfrac{126}{715}=0.1762$$

Así que la probabilidad de sacar bolas con números mayores a 2 es 0.1762

Bolas con diferentes números?

De todas las bolas, hay que tener en cuenta que hay $6$ números repetidos, entonces es necesario conocer el número de combinaciones posibles que se pueden hacer excluyendo a la bola con el número $7$:

$$6\text{C}4 = 15$$

Igual se calculó el número de combinaciones que se pueden alternar con las pelotas blancas y negras:

$$(2\text{C}1)^{4}$$

El cálculo que se realizó fue debido a que tenemos $6$ bolas repetidas, eso quiere decir que para el número 1 tenemos $2$ combinaciones: de que sea blanca o negra. Para el número 2 tenemos $2$ combinaciones: de que sea blanca o negra. Y así con todas las demás. ¿Que por qué el exponente es $4$ y no $6$? Porque sólo vamos a sacar $4$ bolas, no $6$.

Después se procede a multiplicar el número de combinaciones posibles que se pueden hacer excluyendo la bola con el número $7$ con el número de combinaciones que se pueden alternar con las pelotas blancas y negras:

$$6C4*(2C1)^{4}=240$$

Ahora se consideró al $7$ que se había descartado. Se identificó el número de combinaciones que se pueden hacer con $6$ parejas y el $7$:

$$6\text{C}3$$

Se escribió un $3$ porque un lugar de esos $4$ ya lo tenemos ocupado debido a que estamos incluyendo al $7$.

Luego se calculó el número de combinaciones que se pueden alternar con las pelotas blancas y negras, de las 4 posibles, 3 son repetidas y 1 no:

$$6\text{C}3*1\text{C}1*(2\text{C}1)^{3}=160$$

De los dos eventos calculados (cuando se considera y cuando no se considera el $7$), se tienen que sumar:

$$6\text{C}4*(2\text{C}1)^{4}+6\text{C}3*1\text{C}1*(2\text{C}1)^{3}=400$$

El $400$ obtenido se tiene que dividir entre el total de combinaciones que hay de sacar $4$ bolas de las $13$ (ya lo calculamos, recuerda que $13C4$ es igual a $715$):

$$\cfrac{400}{715}=0.5594$$

Así que la probabilidad de que se puedan extraer bolas diferentes será de 0.5594

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