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Segundo ejercicio de combinaciones

El primer ejemplo de combinaciones es este.

Recordemos nuestra fórmula de combinaciones

C(n,r)=\left( \begin{array}{c}n\\r \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n\\ n - r \end{array} \right)

Empecemos con el inciso de nuestro segundo ejemplo de combinaciones:

De una urna, con 6 bolas blancas numeradas de 1 hasta 6 y 7 negras de 1 hasta 7, se sacan, al mismo tiempo, 4. ¿Qué probabilidad hay de obtener:

Bolas con números cuyo producto es par?

Para que se cumpla que el producto sea par, se tiene que cumplir lo siguiente que se observa en la siguiente tabla:

\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\text{PAR} & \text{PAR} & \text{PAR} & \text{PAR} \\
\hline
\text{PAR} & \text{PAR} & \text{PAR} & \text{IMPAR} \\
\hline
\text{PAR} & \text{PAR} & \text{IMPAR} & \text{IMPAR} \\
\hline
\text{PAR} & \text{IMPAR} & \text{IMPAR} & \text{IMPAR} \\
\hline
\end{array}

Razonemos un poquito para saber si el resultado va a ser par.

  • Si multiplicamos 4 números pares, el resultado siempre va a ser un número par.
  • Si multiplicamos 3 números pares y 1 número impar, el resultado siempre va a ser un número par.
  • Si multiplicamos 2 números pares y 2 impares, el resultado siempre va a ser un número par.
  • Finalmente, si multiplicamos 1 número par y 3 números impares, el resultado siempre va a ser un número par.

Si necesitas hacer una tabla para visualizar mejor las bolas, dibuja una tabla o las urnas, nosotros hicimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Bolas blancas} & \text{Bolas negras}\\
\hline
1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 & 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7\\
\hline
\end{array}

Y como tenemos sólo 4 maneras de hacer que el producto dé como resultado un número par, hemos puesto los 4 casos de la siguiente manera con las operaciones ya hechas:

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{\# de caso} &\text{Caso con letras} & \text{Caso con números}\\
\hline \hline
1 &\text{Todos pares} & 6\text{C}4= 15 \\
\hline
2 &\text{tres pares y un impar} & 6\text{C}3*7\text{C}1= 140\\
\hline
3 &\text{Dos pares y dos impares} & 6\text{C}2* 7\text{C}2 = 315\\
\hline
4 &\text{Un par y tres impares} & 6\text{C}1*7\text{C}3 = 210\\
\hline
\end{array}

Consideremos que del total de las 13 bolas, tenemos 6 con número par y 7 con número impar.

  • Como en el caso 1 tienen que ser pares todos los números de las bolas y en total sólo tenemos 6 bolas que tienen números pares, se efectuó la operación 6\text{C}4 que nos da como resultado 15 combinaciones.
  • En el caso 2 se necesitan 3 pares y 1 impar, entonces lo que se tiene que hacer es combinaciones de 3 bolas pares y combinaciones de 1 bola impar, en términos matemáticos es 6\text{C}3*7\text{C}1 que da como resultado 140.
  • En el caso 3 se necesitan 2 pares y 2 impares, así que fácilmente se aplican combinaciones de 2 bolas pares y combinaciones de 2 bolas impares, matemáticamente se haría 6\text{C}2*7\text{C}2 que da como resultado 315.
  • En el último caso tiene que salir 1 bola con número par y 3 con número impar, simplemente aplicamos 6\text{C}1*7\text{C}3 que da como resultado 210.

Todos los resultados que acabamos de obtener los tenemos que sumar, para tener un total de 680. Después lo que se tiene que hacer es aplicar combinaciones para saber todos los casos posibles que hay de sacar 4 bolas de las 13 que hay, así que aplicando 13C4 da como resultado 715 combinaciones.

Finalmente lo que se tiene que hacer es dividir la suma de todas las combinaciones calculadas entre el número de combinaciones que se pueden obtener de 4 bolas de las 13:

\cfrac{680}{715} = 0.951

Así que la probabilidad de sacar 4 bolas cuyo producto sea par es de 0.951

Bolas con números menores a 2?

La respuesta es la siguiente:

En este caso la probabilidad es nula ya que sólo contamos con dos bolas que sean menores de 2, o sea las bolas con el número 1.

Bolas con números mayores a 2?

Este inciso es bastante sencillo porque lo único que se tiene que hacer es descartar las 4 bolas que tienen números menores o iguales a 2. En vez de tener 13 bolas, ahora tendremos 9 bolas y aplicaremos la siguiente combinación:

9\text{C}4=126

Y el resultado obtenido se tiene que dividir entre 715 que es el total de combinaciones que hay de sacar 4 bolas de las 13:

\cfrac{126}{715}=0.1762

Así que la probabilidad de sacar bolas con números mayores a 2 es 0.1762

Bolas con diferentes números?

De todas las bolas, hay que tener en cuenta que hay 6 números repetidos, entonces es necesario conocer el número de combinaciones posibles que se pueden hacer excluyendo a la bola con el número 7:

6\text{C}4 = 15

Igual se calculó el número de combinaciones que se pueden alternar con las pelotas blancas y negras:

(2\text{C}1)^{4}

El cálculo que se realizó fue debido a que tenemos 6 bolas repetidas, eso quiere decir que para el número 1 tenemos 2 combinaciones: de que sea blanca o negra. Para el número 2 tenemos 2 combinaciones: de que sea blanca o negra. Y así con todas las demás. ¿Que por qué el exponente es 4 y no 6? Porque sólo vamos a sacar 4 bolas, no 6.

Después se procede a multiplicar el número de combinaciones posibles que se pueden hacer excluyendo la bola con el número 7 con el número de combinaciones que se pueden alternar con las pelotas blancas y negras:

6C4*(2C1)^{4}=240

Ahora se consideró al 7 que se había descartado. Se identificó el número de combinaciones que se pueden hacer con 6 parejas y el 7:

6\text{C}3

Se escribió un 3 porque un lugar de esos 4 ya lo tenemos ocupado debido a que estamos incluyendo al 7.

Luego se calculó el número de combinaciones que se pueden alternar con las pelotas blancas y negras, de las 4 posibles, 3 son repetidas y 1 no:

6\text{C}3*1\text{C}1*(2\text{C}1)^{3}=160

De los dos eventos calculados (cuando se considera y cuando no se considera el 7), se tienen que sumar:

6\text{C}4*(2\text{C}1)^{4}+6\text{C}3*1\text{C}1*(2\text{C}1)^{3}=400

El 400 obtenido se tiene que dividir entre el total de combinaciones que hay de sacar 4 bolas de las 13 (ya lo calculamos, recuerda que 13C4 es igual a 715):

\cfrac{400}{715}=0.5594

Así que la probabilidad de que se puedan extraer bolas diferentes será de 0.5594

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