Aquí encontrarás la fórmula de distribución binomial, las propiedades de la distribución binomial, cómo identificar una distribución binomial y ¡un ejemplo de la distribución binomial explicado paso a paso!
Se colocan muchas cifras, pero lo más práctico es truncar hasta 2 cifras significativas.
Fórmula de la distribución binomial
P\{ X = k \} = \dbinom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n - k}
- n significa la cantidad de ensayos realizados.
- p significa la probabilidad de que se tenga éxito.
- k la variable de veces que queremos calcular que ocurra el éxito, es un valor cualquiera que le damos entre 0 y n, ya que un valor menor que cero dará como resultado un error y un valor mayor que n dará como resultado un probabilidad de cero.
- El \dbinom{n}{k} significa que estamos haciendo n combinaciones de k.
Propiedades de la distribución binomial
Si se quiere calcular la media de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:
\mu = np
Si se quiere calcular la varianza de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:
\sigma^{2} = np (1 - p)
Si se quiere calcular la distribución estándar de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:
\sigma=\sqrt{np(1 - p)}
Cómo identificar una distribución binomial
- El experimento a realizar consiste en un número fijo n de ensayos, que da por resultado el éxito o el fracaso.
- Los ensayos son idénticos e independientes, por lo que la probabilidad de éxito permanece constante de un ensayo a otro.
- La variable aleatoria X (que es igual a k), denota el número de éxitos obtenidos de n ensayos.
Ejemplo de distribución binomial
Un estudio determinó que 40% de los alumnos de una universidad comen en alguna de las cafeterías de tu campus. Si una tarde se escogen al azar 8 estudiantes de dicho campus, determina la probabilidad de que hayan comido en alguna de las cafeterías de tu campus…:
Recuerda la fórmula:
P\{ X = k \} = \dbinom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n - k}
Recuerda también que la probabilidad p de que los alumnos entren a comer en alguna de las cafeterías del campus es del 40%, o sea de 0.4.
- … exactamente dos de ellos
Como nos piden exactamente dos de ellos, se sustituye el valor de k por un 2:
P\{ X = 2\} = \dbinom{8}{2} 0.4^{2} (1-0.4)^{8-2}
P\{ X = 2\} = \dbinom{8}{2} 0.4^{2}(0.6)^{6}
La probabilidad de que exactamente 2 personas hayan comido en alguna cafetería de tu campus es de 0.20
- … por lo menos dos de ellos
Para este caso, lo único que se hizo fue restar a la unidad la probabilidad cuando uno y ninguno de los estudiantes desayunan en alguna de las cafeterías. Por que en vez de sacar la probabilidad cuando dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho estudiantes comen en alguna de la cafeterías, sería más trabajo, así que es más fácil restar a la unidad la cantidad de una y cero personas que comen en las cafeterías, mira:
1 - \text{un estudiante desayuna} - \text{ningún estudiante desayuna} =
1 - \dbinom{8}{1}0.4^{1}(0.6)^{7} - \dbinom{8}{0} 0.4^{0}(0.6)^{8}=
1 - 0.8957952-0.01679616 = 0.89362432
Por lo tanto, la probabilidad de que por lo menos dos estudiantes hayan desayunado en alguna cafetería del campus es del 0.89
- … ninguno de ellos
Como piden que ninguno de los estudiantes haya desayunado en algunas de las cafeterías, fácilmente se hace un cálculo:
P\{ X = 0\} = \dbinom{8}{0} 0.4^{0}(0.6)^{8} = 0.01679616
La probabilidad de que ninguno de los estudiantes haya desayunado en alguna de las cafeterías es del 0.016
- … no más de tres de ellos
Para este inciso lo único que se hizo fue sumar las probabilidades cuando X = 0,1,2,3, observa:
\dbinom{8}{0} 0.4^{0}(0.6)^{8}+\dbinom{8}{1}0.4^{1}(0.6)^{7}+ \dbinom{8}{2}0.4^{2}(0.6)^{6}+ \dbinom{8}{3} 0.4^{3}(0.6)^{5}=
0.01679616+0.08957952+0.20901888+0.27869184=0.5940864
La probabilidad de que no más de tres estudiantes hayan desayunado en alguna de las cafeterías del campus es de 0.59
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