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Distribución binomial – Explicación completa

Aquí encontrarás la fórmula de distribución binomial, las propiedades de la distribución binomial, cómo identificar una distribución binomial y ¡un ejemplo de la distribución binomial explicado paso a paso!

Se colocan muchas cifras, pero lo más práctico es truncar hasta 2 cifras significativas.

Fórmula de la distribución binomial

P\{ X = k \} = \dbinom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n - k}

  • n significa la cantidad de ensayos realizados.
  • p significa la probabilidad de que se tenga éxito.
  • k la variable de veces que queremos calcular que ocurra el éxito, es un valor cualquiera que le damos entre 0 y n, ya que un valor menor que cero dará como resultado un error y un valor mayor que n dará como resultado un probabilidad de cero.
  • El \dbinom{n}{k} significa que estamos haciendo n combinaciones de k.

Propiedades de la distribución binomial

Si se quiere calcular la media de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:

\mu = np

Si se quiere calcular la varianza de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:

\sigma^{2} = np (1 - p)

Si se quiere calcular la distribución estándar de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:

\sigma=\sqrt{np(1 - p)}

Cómo identificar una distribución binomial

  1. El experimento a realizar consiste en un número fijo n de ensayos, que da por resultado el éxito o el fracaso.
  2. Los ensayos son idénticos e independientes, por lo que la probabilidad de éxito permanece constante de un ensayo a otro.
  3. La variable aleatoria X (que es igual a k), denota el número de éxitos obtenidos de n ensayos.

Ejemplo de distribución binomial

Un estudio determinó que 40% de los alumnos de una universidad comen en alguna de las cafeterías de tu campus. Si una tarde se escogen al azar 8 estudiantes de dicho campus, determina la probabilidad de que hayan comido en alguna de las cafeterías de tu campus…:

Recuerda la fórmula:

P\{ X = k \} = \dbinom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n - k}

Recuerda también que la probabilidad p de que los alumnos entren a comer en alguna de las cafeterías del campus es del 40%, o sea de 0.4.

  • … exactamente dos de ellos

Como nos piden exactamente dos de ellos, se sustituye el valor de k por un 2:

P\{ X = 2\} = \dbinom{8}{2} 0.4^{2} (1-0.4)^{8-2}

P\{ X = 2\} = \dbinom{8}{2} 0.4^{2}(0.6)^{6}

La probabilidad de que exactamente 2 personas hayan comido en alguna cafetería de tu campus es de 0.20

  • … por lo menos dos de ellos

Para este caso, lo único que se hizo fue restar a la unidad la probabilidad cuando uno y ninguno de los estudiantes desayunan en alguna de las cafeterías. Por que en vez de sacar la probabilidad cuando dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho estudiantes comen en alguna de la cafeterías, sería más trabajo, así que es más fácil restar a la unidad la cantidad de una y cero personas que comen en las cafeterías, mira:

1 - \text{un estudiante desayuna} - \text{ningún estudiante desayuna} =

1 - \dbinom{8}{1}0.4^{1}(0.6)^{7} - \dbinom{8}{0} 0.4^{0}(0.6)^{8}=

1 - 0.8957952-0.01679616 = 0.89362432

Por lo tanto, la probabilidad de que por lo menos dos estudiantes hayan desayunado en alguna cafetería del campus es del 0.89

  • … ninguno de ellos

Como piden que ninguno de los estudiantes haya desayunado en algunas de las cafeterías, fácilmente se hace un cálculo:

P\{ X = 0\} = \dbinom{8}{0} 0.4^{0}(0.6)^{8} = 0.01679616

La probabilidad de que ninguno de los estudiantes haya desayunado en alguna de las cafeterías es del 0.016

  • … no más de tres de ellos

Para este inciso lo único que se hizo fue sumar las probabilidades cuando X = 0,1,2,3, observa:

\dbinom{8}{0} 0.4^{0}(0.6)^{8}+\dbinom{8}{1}0.4^{1}(0.6)^{7}+ \dbinom{8}{2}0.4^{2}(0.6)^{6}+ \dbinom{8}{3} 0.4^{3}(0.6)^{5}=

0.01679616+0.08957952+0.20901888+0.27869184=0.5940864

La probabilidad de que no más de tres estudiantes hayan desayunado en alguna de las cafeterías del campus es de 0.59

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