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Distribución binomial – Explicación completa

Aquí encontrarás la fórmula de distribución binomial, las propiedades de la distribución binomial, cómo identificar una distribución binomial y ¡un ejemplo de la distribución binomial explicado paso a paso!

Se colocan muchas cifras, pero lo más práctico es truncar hasta 2 cifras significativas.

Fórmula de la distribución binomial

$$P\{ X = k \} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)p^{k}(1 – p)^{n – k}$$

  • $n$ significa la cantidad de ensayos realizados.
  • $p$ significa la probabilidad de que  se tenga éxito.
  • $k$ la variable de veces que queremos calcular que ocurra el éxito, es un valor cualquiera que le damos entre $0$ y $n$, ya que un valor menor que cero dará como resultado un error y un valor mayor que $n$ dará como resultado un probabilidad de cero.
  • El $\left( \begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)$ significa que estamos haciendo $n$ combinaciones de $k$.

Propiedades de la distribución binomial

Si se quiere calcular la media de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguientes:

$$\mu = np$$

Si se quiere calcular la varianza de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:

$$\sigma^{2} = np (1 – p)$$

Si se quiere calcular la distribución estándar de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:

$$\sigma=\sqrt{np(1 – p)}$$

Cómo identificar una distribución binomial

  1. El experimento a realizar consiste en un número fijo $n$ de ensayos, que da por resultado el éxito o el fracaso.
  2. Los ensayos son idénticos e independientes, por lo que la probabilidad de éxito permanece constante de un ensayo a otro.
  3. La variable aleatoria $X$ (que es igual a $k$), denota el número de éxitos obtenidos de $n$ ensayos.

Ejemplo de distribución binomial

Un estudio determinó que 40% de los alumnos de una universidad comen en alguna de las cafeterías de tu campus. Si una tarde se escogen al azar 8 estudiantes de dicho campus, determina la probabilidad de que hayan comido en alguna de las cafeterías de tu campus…:

Recuerda la fórmula:

$$P\{ X = k \} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)p^{k}(1 – p)^{n – k}$$

Recuerda también que la probabilidad $p$ de que los alumnos entren a comer en alguna de las cafeterías del campus es del 40%, o sea de 0.4.

  • … exactamente dos de ellos

Como nos piden exactamente dos de ellos, se sustituye el valor de $k$ por un $2$:

$$P\{ X = 2\} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right) 0.4^{2} (1-0.4)^{8-2}$$

$$P\{ X = 2\} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right) 0.4^{2}(0.6)^{6} $$

La probabilidad de que exactamente 2 personas hayan comido en alguna cafetería de tu campus es de $0.20$

  • … por lo menos dos de ellos

Para este caso, lo único que se hizo fue restar a la unidad la probabilidad cuando uno y ninguno de los estudiantes desayunan en alguna de las cafeterías. Por que en vez de sacar la probabilidad cuando dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho estudiantes comen en alguna de la cafeterías, sería más trabajo, así que es más fácil restar a la unidad la cantidad de una y cero personas que comen en las cafeterías, mira:

$$1 – \text{un estudiante desayuna} – \text{ningún estudiante desayuna} =$$

$$1 – \left( \begin{array}{c}8 \\ 1 \end{array}\right)0.4^{1}(0.6)^{7} – \left( \begin{array}{c} 8\\ 0 \end{array}\right)0.4^{0}(0.6)^{8}=$$

$$1 – 0.8957952-0.01679616 = 0.89362432$$

Por lo tanto, la probabilidad de que por lo menos dos estudiantes hayan desayunado en alguna cafetería del campus es del $0.89$

  • … ninguno de ellos

Como piden que ninguno de los estudiantes haya desayunado en algunas de las cafeterías, fácilmente se hace un cálculo:

$$P\{ X = 0\} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array}\right)0.4^{0}(0.6)^{8} = 0.01679616$$

La probabilidad de que ninguno de los estudiantes haya desayunado en alguna de las cafeterías es del $0.16$

  • … no más de tres de ellos

Para este inciso lo único que se hizo fue sumar las probabilidades cuando $X = 0,1,2,3$, observa:

$$\left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array}\right)0.4^{0}(0.6)^{8}+\left( \begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}\right)0.4^{1}(0.6)^{7}+\left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array}\right)0.4^{2}(0.6)^{6}+\left( \begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}\right)0.4^{3}(0.6)^{5}=$$

$$0.01679616+0.8957952+0.20901888+0.27869184=0.56049408$$

La probabilidad de que no más de tres estudiantes hayan desayunado en alguna de las cafeterías del campus es de $0.56$

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