Aquí encontrarás la fórmula de distribución binomial, las propiedades de la distribución binomial, cómo identificar una distribución binomial y ¡un ejemplo de la distribución binomial explicado paso a paso!
Se colocan muchas cifras, pero lo más práctico es truncar hasta 2 cifras significativas.
Fórmula de la distribución binomial
$$P\{ X = k \} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)p^{k}(1 – p)^{n – k}$$
- $n$ significa la cantidad de ensayos realizados.
- $p$ significa la probabilidad de que se tenga éxito.
- $k$ la variable de veces que queremos calcular que ocurra el éxito, es un valor cualquiera que le damos entre $0$ y $n$, ya que un valor menor que cero dará como resultado un error y un valor mayor que $n$ dará como resultado un probabilidad de cero.
- El $\left( \begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)$ significa que estamos haciendo $n$ combinaciones de $k$.
Propiedades de la distribución binomial
Si se quiere calcular la media de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguientes:
$$\mu = np$$
Si se quiere calcular la varianza de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:
$$\sigma^{2} = np (1 – p)$$
Si se quiere calcular la distribución estándar de la distribución binomial, se tiene que aplicar la fórmula siguiente:
$$\sigma=\sqrt{np(1 – p)}$$
Cómo identificar una distribución binomial
- El experimento a realizar consiste en un número fijo $n$ de ensayos, que da por resultado el éxito o el fracaso.
- Los ensayos son idénticos e independientes, por lo que la probabilidad de éxito permanece constante de un ensayo a otro.
- La variable aleatoria $X$ (que es igual a $k$), denota el número de éxitos obtenidos de $n$ ensayos.
Ejemplo de distribución binomial
Un estudio determinó que 40% de los alumnos de una universidad comen en alguna de las cafeterías de tu campus. Si una tarde se escogen al azar 8 estudiantes de dicho campus, determina la probabilidad de que hayan comido en alguna de las cafeterías de tu campus…:
Recuerda la fórmula:
$$P\{ X = k \} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)p^{k}(1 – p)^{n – k}$$
Recuerda también que la probabilidad $p$ de que los alumnos entren a comer en alguna de las cafeterías del campus es del 40%, o sea de 0.4.
- … exactamente dos de ellos
Como nos piden exactamente dos de ellos, se sustituye el valor de $k$ por un $2$:
$$P\{ X = 2\} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right) 0.4^{2} (1-0.4)^{8-2}$$
$$P\{ X = 2\} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right) 0.4^{2}(0.6)^{6} $$
La probabilidad de que exactamente 2 personas hayan comido en alguna cafetería de tu campus es de $0.20$
- … por lo menos dos de ellos
Para este caso, lo único que se hizo fue restar a la unidad la probabilidad cuando uno y ninguno de los estudiantes desayunan en alguna de las cafeterías. Por que en vez de sacar la probabilidad cuando dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho estudiantes comen en alguna de la cafeterías, sería más trabajo, así que es más fácil restar a la unidad la cantidad de una y cero personas que comen en las cafeterías, mira:
$$1 – \text{un estudiante desayuna} – \text{ningún estudiante desayuna} =$$
$$1 – \left( \begin{array}{c}8 \\ 1 \end{array}\right)0.4^{1}(0.6)^{7} – \left( \begin{array}{c} 8\\ 0 \end{array}\right)0.4^{0}(0.6)^{8}=$$
$$1 – 0.8957952-0.01679616 = 0.89362432$$
Por lo tanto, la probabilidad de que por lo menos dos estudiantes hayan desayunado en alguna cafetería del campus es del $0.89$
- … ninguno de ellos
Como piden que ninguno de los estudiantes haya desayunado en algunas de las cafeterías, fácilmente se hace un cálculo:
$$P\{ X = 0\} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array}\right)0.4^{0}(0.6)^{8} = 0.01679616$$
La probabilidad de que ninguno de los estudiantes haya desayunado en alguna de las cafeterías es del $0.16$
- … no más de tres de ellos
Para este inciso lo único que se hizo fue sumar las probabilidades cuando $X = 0,1,2,3$, observa:
$$\left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array}\right)0.4^{0}(0.6)^{8}+\left( \begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}\right)0.4^{1}(0.6)^{7}+\left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array}\right)0.4^{2}(0.6)^{6}+\left( \begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}\right)0.4^{3}(0.6)^{5}=$$
$$0.01679616+0.8957952+0.20901888+0.27869184=0.56049408$$
La probabilidad de que no más de tres estudiantes hayan desayunado en alguna de las cafeterías del campus es de $0.56$
Gracias por estar en este momento con nosotros : )