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Diagramas de Venn – ¡Explicación y ejemplos! 🔴🔵

Sencilla explicación de lo que es el diagrama de Venn. Operaciones básicas de los conjuntos representadas con diagramas de Venn ¡Ejemplos con diagramas de Venn y finalmente veremos fórmulas de conteo importantes! Ya se manejan unas pizarras muy geniales para realizar de una manera más práctica y visible este tipo de ejercicios.

¿Qué es un Diagrama de Venn?

Simple, es la representación gráfica de los conjuntos.

Operaciones básicas de los conjuntos

Unión en los diagramas de venn ($\cup$)

Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a $A$ o $B$. Es decir:

$$A \cup B = \{ x:x \in A\lor x \in B\}$$

conjunto, diagrama de venn,unión
$A \cup B$

Intersección en los diagramas de venn ($\cap$)

Es el conjunto de los elementos que pertenecen a $A$ y $B$. Quiere decir que sólo se queda dibujada la parte que comparten los conjuntos:

$$A \cap B = \{ x:x \in A \land x \in B\}$$

intersección, diagrama de venn
$A \cap B$

Complemento de un conjunto ($^{\text{C}}$)

Es el conjunto de elementos que pertenecen al universo que no forma parte de $A$. Dicho de otra forma:

$$A^{\text{C}} = \{ x:x\in U, x \notin A\}$$

diagramas de venn, complemento, ejemplo
$A^{\text{C}}$

Diferencia en los diagramas de venn ($-$)

Es el conjunto que se genera al quitar los elementos presentes en el segundo conjunto:

$$A-  B = \{ x:x \in A, x \notin B\}$$

diagramas de venn, diferencia de conjuntos
$A-  B$

Ejemplo de conjuntos con Diagramas de Venn

Supón que el Universo está definido de la siguiente forma:

$$U = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$

Y se delimitan los siguientes conjuntos:

$$A = \{ 1,2,3,4\}, \ B = \{ 3,4,5,6,7\}, \ C = \{ 2,3, 8,9\}$$

El diagrama de Venn queda representado de la siguiente forma:

diagrama de venn, ejemplo con números

Perfecto, empecemos con los ejemplos de Diagramas de Venn

Primer Ejemplo de diagrama de venn

Realiza la unión del conjunto $A$ con el conjunto $B$ y la unión del conjunto $B$ con el conjunto $C$:

$$A \cup B \cup C$$

Realizando lo anterior, los números que tendríamos son los siguientes:

$$\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$

diagrama de venn, ejemplo
$A \cup B \cup C$

Segundo Ejemplo de diagrama de venn

Realiza la intersección del conjunto $A$ con el conjunto $B$ y la intersección del conjunto $B$ con el conjunto $C$:

$$A \cap B \cap C$$

Realizando lo anterior, el número que nos queda es sólo uno ya que es lo que los tres conjuntos tienen en común:

$$\{ 3\}$$

diagramas de venn, ejemplo
$A \cap B \cap C$

Tercer Ejemplo de diagrama de venn

Realiza el complemento del conjunto $A$ menos la intersección del conjunto $B$ con el conjunto $C$:

$$A^{\text{C}} – (B \cap C)$$

Es importante hacer los pasos en orden:

  1. Se priorizan los paréntesis, así que primero se realiza $B \cap C$:
diagramas de venn, ejemplos
$B \cap C$

2. Seguidamente se visualiza el complemento de $A$:

diagrama de venn, ejemplo
$A^{\text{C}}$

3. Finalmente se realiza la diferencia $A^{\text{C}} – (B \cap C)$

diagramas de venn, resultado
$A^{\text{C}} – (B \cap C)$

Resultado:

$$\{ 5,6,7,8,9,10\}$$

Fórmulas de conteo de diagramas de venn

Si $n(A)$, $n(B)$ y $n(C)$ son el número de elementos que conforman a los conjuntos $A$, $B$ y $C$ respectivamente, entonces las fórmulas de diagramas de venn son:

  • $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$
  • $n(A – B)=n(A) – n(A \cap B)$
  • $n(A^{\text{C}}) = n(U) – n(A)$
  • $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

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