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Ejercicio 2 de Olimpiada Mexicana de Matemáticas Nivel Beta

A continuación se presenta un diagrama de 4 cuadrados, cada uno tiene sus vértices en los puntos medios del cuadrado mayor a él. Si el área del cuadrado más grande es de $16 \ \text{cm}^{2}$, ¿cuánto vale el área sombreada?

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Figura 1. Cuatro cuadrados.

Respuesta al ejercicio 2 de Olimpiada Mexicana de Matemáticas Nivel Beta

Si unimos los puntos medios de un cuadrado, el resultado es otro cuadrado cuya área es la mitad del cuadrado mayor. Para que se vea más gráfico, vamos a hacer el dibujo:

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Figura 2. Mitades del cuadrado mayor.

Como se puede apreciar en la figura 2. Si nos detenemos a analizar la figura, se puede apreciar que las líneas horizontal y vertical forman 4 cuadrados, pero cada uno de esos 4 cuadrados está dividido a la mitad por las líneas $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$. Lo que quiere decir que si nuestra área es de $16 \ \text{cm}^{2}$ y lo hubiéramos dividido entre cuatro cuadrados, se habría obtenido un área de $4 \ \text{cm}^{2}$ por cuadrado cortado, pero, como sólo vamos a tomar la mitad de cada uno de esos cuadrados, entonces el área de $4\ \text{cm}^{2}$ se divide a la mitad y entonces tendríamos $2 \ \text{cm}^{2}$, pero como tenemos cuatro cuadrados, entonces nuestra área es $2\ \text{cm}^{2}$ por los cuatro cuadrados, eso quiere decir que el área del $\square ABCD$ es $8 \ \text{cm}^{2}$.

Pero el ejercicio no termina aquí, todavía falta, sigamos con el siguiente cuadrado:

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Figura 3. $\square ABCD$ y $\square EFGH$

Como ya sabemos que si trazamos un cuadrado dentro de otro cuadrado y desde los puntos medios del cuadrado siguiente más grande, entonces el área será la mitad. Si ya sabemos que el área del $\square ABCD$ es de $8 \ \text{cm}^{2}$, entonces el área del $\square EFGH$ es la mitad de $8 \ \text{cm}^{2}$ que es igual a $4\ \text{cm}^{2}$.

Ahora vamos a dibujar el último cuadrado:

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Figura 4. Último cuadrado.

Bien, ya tenemos el último cuadrado dibujado, pero lo que nos piden son las áreas de los triángulos $\vartriangle FIJ$, $\vartriangle IEL$, $\vartriangle LHK$ y $\vartriangle JGK$, o más fácil: el área sombreada de la figura 1. Como ya sabemos cuál es el área del $\square EFGH$, simplemente calculemos el área del $\square IJKL$ y se le restará al $\square EFGH$.

El área del cuadrado es la mitad del $\square EFGH$, así que el área del $\square IJKL$ es $2\ \text{cm}^{2}$. Ahora simplemente hagamos una operación:

$$\text{Área del } \square EFGH \ – \ \text{Área del } \square IJKL = 2\ \text{cm}^{2}$$

Así que el valor del área sombreada es de $2\ \text{cm}^{2}$

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