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Sucesiones

Existen varios tipos de sucesiones numéricas, en el cual para una función siempre tendremos como resultado un número para una determinada posición de ese número que queremos calcular. En términos matemáticos se representa así:

$$f(n) = x_{n} \quad \text{para} \quad n \ \in \ \mathbb{Q}$$

$$\mathbb{Q} = \ \text{números racionales, enteros y naturales}$$

Sucesiones finitas

A las sucesiones finitas se les conoce como tal porque tienen un valor de inicio y un valor final, por ejemplo la siguiente sucesión:

$$4, \ 8, \ 12, \ 16, \ 20, \ 24.$$

Se puede apreciar que el valor de inicio es el $4$ y el valor final es el $24$.

Sucesiones infinitas

Se dice que una sucesión es infinita cuando tiene un término de inicio pero no tiene un término final. Como la siguiente sucesión:

$$5, \ 25, \ 125, \ 625, \ \dots$$

Se puede apreciar que el término de inicio es el $5$ y no tiene término final debido a los puntos suspensivos.

Fórmulas generadoras

Es necesario que exista una Fórmula Generadora o una Ley para que una sucesión puede ser considerada como tal con la cual puedan generarse los términos. La Fórmula Generadora tiene que estar en función de $n$, con la cual podemos generar cualquier término. Veamos un ejemplo:

$$f(n) = \cfrac{2n + 1}{2n} \quad \text{para} \quad n = 1, 2, 3, 4, \dots$$

Fórmulas recursivas

Cuando una ley o fórmula generadora de una sucesión está dada en término o términos precedentes y alguna constante, se dice que la fórmula es recursiva.

Las fórmulas recursivas relacionan términos sucesivos de una sucesión para proporcionar medios para calcular cantidades sucesivas en términos de las anteriores. A continuación veremos las fórmulas recursivas simples y las múltiples.

Para resolver las fórmulas recursivas necesitamos saber cómo resolver sistemas de ecuaciones, lo veremos más adelante.

Fórmulas recursivas simples

Una fórmula generadora es recursiva simple cuando la sucesión está en función del término anterior y alguna constante.

$$t_{k} = \text{A} \ t_{k-1} + \text{B}$$

Siempre el $t_{1}$ es el término primario que se necesita para generar los siguientes elementos de la sucesión.

Ejemplo de sucesión recursiva simple

Dada la siguiente sucesión:

$$1, 4, 10, 22, 46, \ \dots$$

Para hallar la fórmula generadora tenemos que tomar la fórmula general de la sucesión recursiva simple:

$$t_{k} = \text{A}t_{k-1} + \text{B}$$

Y como término primario tenemos que es el $t_{1} = 1$, así que tenemos que cuando $k=1$, entonces $t_{1} = 1$.

Cuando tenemos que $k=2$, vemos que $t_{2} = \text{A}t_{1} + B$, y como $t_{2} = 4$, entonces $4 = \text{A} + \text{B}$

Cuando tenemos que $k=3$, vemos que $t_{3} = \text{A} t_{2} + \text{B}$, y como $t_{3} = 10$, entonces $10 = 4\text{A} + \text{B}$

Así que ya tenemos los dos sistemas de ecuaciones:

$$\begin{array}{r}
\text{A} + \text{B} = 4 \\
4\text{A} + \text{B} = 10
\end{array}$$

Cuando los resolvamos, tendremos las siguientes respuestas:

$$\text{A} = 2 \quad \text{y} \quad \text{B} = 2$$

Finalmente tenemos nuestra fórmula generadora:

$$\begin{array}{ |c| }
\hline
t_{k} = 2t_{k-1} + 2 \quad \text{con} \quad t_{1} = 1 \quad \text{para} \quad k=2, 3, 4, \dots \\
\hline
\end{array}$$

Fórmulas recursivas múltiples

Genera sucesiones en las cuales el término calculado está en función de dos o más términos anteriores más alguna constante, matemáticamente es así:

$$t_{k} = \text{A} \ t_{k-1} + \text{B} \ t_{k-2} + \text{C}$$

Puede ser tan complicada como se torne la sucesión:

$$t_{k} = \text{A} \ t_{k-1} + \text{B} t_{k-2} + \text{C} t_{k-3} + \text{D}$$

$$t_{k} = \text{A} \ t_{k-1} + \text{B} t_{k-2} + \text{C} t_{k-3} + \text{D}t_{k-4} + \text{E}$$

Cuando tengamos que el subíndice de $t$ es cero o menor de cero, entonces tomaremos el valor que ya aparece en la sucesión sin considerar la constante y el otro valor del término precedente.

Ejemplo de sucesión recursiva múltiple

Determinar la fórmula generadora de la siguiente sucesión:

$$1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, \dots$$

Para empezar, supondremos que ya hicimos la prueba y vimos que esta no es una sucesión regresiva simple y también supongamos que la fórmula está en función de dos términos precedenter y alguna constante:

$$t_{k} = \text{A} t_{k-1} + \text{B} t_{k-2} + \text{C}$$

Empecemos a buscar la fórmula generadora, tenemos que para $k=1$ es $t_{1} = 1$. Como tenemos que nuestras $t$ alcanza un subíndice cero o menor que cero, ignoraremos entonces esos valores para esa $k=1$ y avanzaremos a $k=2$, así sucesivamente hasta que nuestras ecuaciones de nuestro sistema tengan todos sus valores para las $t$.

Como tenemos tres términos precedentes, entonces necesitamos tres sistemas para resolver un sistema de tres ecuaciones.

  • Para $k=3$ tenemos $t_{3} = \text{A}t_{2} + \text{B}t_{1} + \text{C}$
  • Para $k=4$ tenemos $t_{4} = \text{A}t_{3} + \text{B} t_{2} + \text{C}$
  • Para $k=5$ tenemos $t_{5} = \text{A} t_{4} + \text{B} t_{3} + \text{C}$

Tenemos los primeros valores de la sucesión que van desde $t_{1}$ hasta $t_{7}$, simplemente los vamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores, recuerda que $t_{n}$ es la posición de cada valor en la sucesión dada:

  • Para $k=3$ tenemos $5 = 3 \text{A} + \text{B}+ \text{C}$
  • Para $k=4$ tenemos $9 = 5\text{A} + 3 \text{B} + \text{C}$
  • Para $k=5$ tenemos $15 = 9 \text{A} + 5 \text{B} + \text{C}$

Ahora que ya tenemos nuestro sistema de ecuaciones, hay que hallar los valores, como no vamos a explicar cómo resolver sistemas de ecuaciones, vamos directo con los resultados:

$$\text{A} = 1 \qquad \text{B} = 1 \qquad \text{C} = 1$$

Así que ya tenemos nuestra fórmula generadora:

$$\begin{array}{ |c| }
\hline
t_{k} = t_{k-1} + t_{k-2} + 1 \quad \text{con} \quad t_{1} = 1 \ \text{y} \ t_{2} = 3 \quad \text{para} \quad k=3, 4, 5, \dots \\
\hline
\end{array}$$

Nota

Puede ser que no sepamos si la sucesión es recursiva simple o múltiple, tenemos que probar hasta lograr obtener nuestra fórmula generadora.

Sucesión geométrica

Es cualquier número posterior al primero y se obtiene multiplicando el término anterior por un número no nulo que es llamado la razón de la sucesión:

$$t_{k} = \text{A} t_{k-1}$$

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