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Matrices

Cabe recalcar que en los métodos numéricos las matrices son el pan de todos los días, siempre estarán presentes. Recordemos que una matriz es un arreglo de la forma:

$$
\left[
\begin{array}{c c c c c}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n} \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n} \\
\end{array}
\right]
$$

Es muy importante que veamos un poco las matrices porque nos sirven en muchos otros temas de métodos numéricos. Por eso es que antes de que veamos unas características de las matrices, primero vamos a ver cómo se multiplican las matrices:

$$
M\cdot N = \left[
\begin{array}{c c c}
A & B & C \\
D & E & F \\
G & H & I
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c c c}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{array}
\right]
$$
$$M\cdot N =
\left[
\begin{array}{c c c c c}
Aa+Bd+Cg & \ & Ab+Be+Ch & \ & Ac+Bf+Ci \\
Da+Ed+Fg & & Db+Ee+Fh & & Dc+Ef+Fi \\
Ga+Hd+Ig & & Gb+He+Ih & & Gc+Hf+Ii
\end{array}
\right]
$$

Característica 1 de las matrices

Para toda matriz cuadrada $A$, donde el número de filas y columnas es el mismo, cuyo determinante es distinto de cero, existe una matriz denotada $A^{-1}$ que satisface la relación siguiente:

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

Donde $I$ es una matriz identidad, las cuáles las matrices identidad son:

$$
I_{2\times 2} = \left[
\begin{array}{c c}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]
$$

$$
I_{3\times 3} = \left(
\begin{array}{c c c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
$$

$$
I_{n\times m} = \left(
\begin{array}{c c c}
1_{1,1} & \dots & 0_{1,m} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0_{n,1} & \dots & 1_{n,m}
\end{array}
\right)
$$

Son todas aquellas que en su diagonal tienen el número $1$ y todos los demás números son nulos.

Característica 2 de las matrices. Transformaciones elementales de filas

Toda matriz puede ser transformada en otra aplicando los 3 puntos que suelen llamarse las transformaciones elementales de filas:

  1. Multiplicar una fila por un escalar no nulo
  2. Sumar a una fila un múltiplo de otra fila
  3. Intercambio de filas

Te recomiendo que leas con atención lo siguiente:

Aplicar una transformación elemental de filas a una matriz $A$ es igual a aplicar esa transformación a una matriz $I$ y multiplicarla por $A$.

Vamos a ver un ejemplo para cada una de las 3 transformaciones elementales de filas. Utilicemos la matriz $A$:

$$
A = \left[
\begin{array}{c c c}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

Transformación 1 de las matrices. Multiplicar una fila por un escalar no nulo

Aplicando la primera transformación tenemos lo siguiente:

$$
B = \left[
\begin{array}{c c c}
ka_{1,1} & ka_{1,2} & ka_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

Tenemos la modificación hecha en la matriz $I$, el cual es la matriz $E_{1}$:

$$
E_{1} = \left[
\begin{array}{c c c}
k & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
$$

Se multiplica $E_{1}$ por la matriz $A$:

$$
E_{1}\cdot A =
\left[
\begin{array}{c c c}
k & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c c c}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

Al final obtenemos la matriz $B$:

$$E_{1}\cdot A = B = \left[
\begin{array}{c c c}
ka_{1,1} & ka_{1,2} & ka_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]$$

Transformación 2 de las matrices. Sumar a una fila un múltiplo de otra fila.

Aplicando la segunda transformación tenemos lo siguiente:

$$
C = \left[
\begin{array}{c c c}
a_{1,1} + ka_{3,1} & a_{1,2} + ka_{3,2} & a_{1,3} + ka_{3,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

Es equivalente a que a nuestra matriz identidad le hagamos lo siguiente:

$$
E_{2} = \left[
\begin{array}{c c c}
1 & 0 & k \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
$$

Multiplicamos $E_{2}$ por la matriz $A$ para obtener la matriz $C$:

$$
\left[
\begin{array}{c c c}
1 & 0 & k \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c c c}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

$$
E_{2}\cdot A = C = \left[
\begin{array}{c c c}
a_{1,1} + ka_{3,1} & a_{1,2} + ka_{3,2} & a_{1,3} + ka_{3,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

Transformación 3 de las matrices. Intercambiar dos filas

Como su nombre lo indica en esta transformación, cambiaremos dos filas de la matriz $A$ para obtener lo que se visualiza en la matriz $D$:

$$
D = \left[
\begin{array}{c c c}
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

Es equivalente a que a nuestra matriz identidad le hagamos la siguiente modificación:

$$
E_{3} = \left[
\begin{array}{c c c}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
$$

Multiplicamos $E_{3}$ por $A$ para que obtengamos $D$:

$$
E_{3} = \left[
\begin{array}{c c c}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c c c}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

$$
E_{3} \cdot A = \left[
\begin{array}{c c c}
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{array}
\right]
$$

Nota:

Para finalizar, dada una matriz $A$ no singular de orden $n$, siempre es posible encontrar tantas matrices de la forma $E$ tales que al aplicarlas a $A$ la conviertan en matriz identidad:

$$E_{1}, E_{2}, \dots E_{r} \cdot A = I$$

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