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Triángulos semejantes

Cómo saber si dos triángulos son semejantes

Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son congruentes y los lados homólogos son proporcionales.” (Colonia, 2004, p. 289)

Nota: la “$\Rightarrow$” que se verán a continuación significan “entonces: “.

Postulado de la semejanza AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo)

Si los 3 ángulos de un triángulo son congruentes con los 3 ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

semejanza_de_triángulos_postulado_de_la_semejanza_AAA$$\text{Si } \ \measuredangle A \cong \measuredangle D, \measuredangle B \cong \measuredangle E \ \land \ \measuredangle C \cong \measuredangle F$$

$$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DEF$$

Teoremas relativos a semejanzas de triángulos

Teorema 1. Semejanza AA (Ángulo-Ángulo)

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_1$$\text{Si } \measuredangle A \cong \measuredangle D \ \land \ \measuredangle C \cong \measuredangle F$$

$$\Rightarrow \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

Teorema 2. Semejanza LLL (Lado-Lado-Lado)

Si dos triángulos tienen proporcionales sus 3 lados, entonces los triángulos son semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_2

$$\text{Si } \ \cfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} = \cfrac{\overline{BC}}{\overline{EF}} = \cfrac{\overline{CA}}{\overline{FD}} $$

$$\Rightarrow \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

Teorema 3. Semejanza LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre dichos lados son congruentes, los triángulos son semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_3

$$\text{Si } \ \cfrac{\overline{CA}}{\overline{FD}} = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{FE}} \ \land \ \measuredangle C \cong \measuredangle F$$

$$\Rightarrow \ \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

Teorema 4

Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos proporcionales, los triángulos son semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_4

$$\text{Si } \measuredangle B \ \land \measuredangle E \ \text{ son rectos } \ \land$$

$$\cfrac{\overline{BA}}{\overline{ED}} = \cfrac{\overline{BC}}{\overline{EF}}$$

$$\Rightarrow \ \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

Teorema 5

Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente, los triángulos son semejantes

semejanza_de_triángulos_teorema_5$$\text{Si } \ \measuredangle B \ \land \ \measuredangle E \ \text{son rectos } \land$$

$$\measuredangle C \cong \measuredangle F$$

$$\Rightarrow \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

Teorema 6

Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_6$$\text{Si } \measuredangle C \ \land \measuredangle \ E \text{ son rectos } \ \land$$

$$\cfrac{\overline{AB}}{\overline{DF}} = \cfrac{\overline{AC}}{\overline{DE}}$$

$$\Rightarrow \ \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

Teorema 7

Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes paralelos entre sí, son semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_8$$\text{Si } \overline{BA} \parallel \overline{ED}, \ \overline{AC} \parallel \overline{DF}, \ \overline{CB} \parallel \overline{FE}$$

$$\Rightarrow \ \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

No necesariamente tiene que estar un triángulo dentro de otro para identificar que tienen sus lados paralelos, pueden estar afuera uno de otro como se muestra a continuación:

semejanza_de_triángulos_teorema_12_1

Teorema 8

Si cada lado de un triángulo es perpendicular con un lado correspondiente del segundo triángulo, entonces son triángulos semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_9$$\text{Si } \ \overline{DI} \bot \overline{AC}, \overline{EI’} \bot \overline{AB}  \ \land \ \overline{FI”} \bot \overline{CB}$$

$$\Rightarrow \ \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF$$

Teorema 9

La altura correspondiente divide al triángulo rectángulo dado en dos semejantes a éste y semejantes entre sí. Quiere decir que tenemos 3 triángulos semejantes. Además, la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa es la media proporcional entre las longitudes de los dos segmentos que divide la hipotenusa.

semejanza_de_triángulos_teorema_10

$$\text{Si } \Delta ABC \ \text{ es rectángulo siendo:}$$

$$\overline{CB} \ \text{ la hipotenusa } \ \land \ \overline{DA}$$

$$\text{la altura}$$

$$\Rightarrow \ \Delta ABC \ \sim \ \Delta ADC \ \sim \ \Delta ADB$$

$$\land \ \text{ la media proporcional es} $$

$$\Rightarrow \ \cfrac{\overline{CD}}{\overline{AD}} = \cfrac{\overline{AD}}{\overline{DB}}$$

Propiedades de las alturas de triángulos semejantes

Teorema 10

Son proporcionales a los lados homólogos las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_11

$$\text{Si } \Delta ABC \ \sim \ \Delta EFG \ \land$$

$$\overline{AD} \ \land \ \overline{EH} \ \text{ son alturas correspondientes}$$

$$\text{a los lados homólogos } \ \overline{CB} \ \land \ \overline{GF}$$

$$\Rightarrow \ \cfrac{AD}{EH} = \cfrac{CB}{GF}$$

Teorema 11

Son proporcionales las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes.

semejanza_de_triángulos_teorema_12_1$$\text{Si } \Delta ABC \ \sim \ \Delta DEF \ \land$$

$$\overline{AG}, \overline{CI}, \overline{BH}, \overline{DJ}, \overline{FL} \ \land \ \overline{EK} \text{ son alturas}$$

$$\Rightarrow \cfrac{\overline{AG}}{\overline{DJ}} = \cfrac{\overline{CI}}{\overline{FL}} = \cfrac{\overline{BH}}{\overline{EK}}$$

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