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Poliedros regulares, definiciones y fórmulas

¿Qué es un poliedro?

Un poliedro es un sólido el cual está limitado sólo por superficies planas a las cuales llamamos con el nombre de caras, a las intersecciones de las caras se les llama aristas y a los puntos donde se cortan las aristas se les llama vértices. Se les llama diagonales a las líneas que unen vértices que no pertenecen a la misma cara.

poliedro-definición-animación

¿Qué es un poliedro regular?

Como ya podrás imaginar, un poliedro regular es aquel que todas sus caras son polígonos regulares. En total sólo existen 5 poliedros regulares que seguro ya conoces, cada uno de estos poliedros tienen el prefijo de la cantidad del número de caras. Veamos la figura desglosada como se vería sin estar armada y veamos la figura armada:

Tetraedro regular

Cuántas caras tiene un tetraedro regular

El tetraedro regular tiene 4 caras.

Cuántos vértices tiene un tetraedro regular

Un tetraedro regular tiene 4 vértices.

Cuántas aristas tiene un tetraedro regular

Un tetraedro regular tiene 6 aristas.

tetraedro_regular_plano
Tetraedro regular plano
tetraedro_regular_sólido
Tetraedro regular sólido

tetraedro-regular-sólido-animación

Hexaedro regular o cubo

Cuántas caras tiene un hexaedro regular

El hexaedro regular tiene 6 caras.

Cuántos vértices tiene un hexaedro regular

Un hexaedro regular tiene 8 vértices.

Cuántas aristas tiene un hexaedro regular

Un hexaedro regular tiene 12 aristas.

hexaedro_regular_plano
Hexaedro regular plano
hexaedro_regular_sólido
Hexaedro regular sólido

hexaedro-regular-sólido-animación

Octaedro regular

Cuántas caras tiene un octaedro regular

El octaedro regular tiene 8 caras.

Cuántos vértices tiene un oxtaedro regular

Un octaedro regular tiene 6 vértices.

Cuántas aristas tiene un octaedro regular

Un octaedro regular tiene 12 aristas.

octaedro_regular_plano
Octaedro regular plano
octaedro_regular_sólido
Octaedro regular sólido

octaedro-solido-plano-animación

Dodecaedro regular

Cuántas caras tiene un dodecaedro regular

El dodecaedro regular tiene 12 caras.

Cuántos vértices tiene un dodecaedro regular

Un dodecaedro regular tiene 20 vértices.

Cuántas aristas tiene un dodecaedro regular

Un dodecaedro regular tiene 30 aristas.

dodecaedro_regular_plano
Dodecaedro regular plano
dodecaedro_regular_sólido
Dodecaedro regular sólido

dodecaedro-regular-sólido-animación

Icosaedro regular

Cuántas caras tiene un icosaedro regular

El icosaedro regular es un poliedro regular que consta de 20 caras.

Cuántos vértices tiene un icosaedro regular

Un icosaedro regular tiene 12 vértices.

Cuántas aristas tiene un icosaedro regular

Un icosaedro regular tiene 30 aristas.

icosaedro_regular_plano
Icosaedro regular plano
icosaedro_regular_sólido
Icosaedro regular sólido

Icosaedro-regular-sólido-animación

Áreas y volúmenes de los poliedros regulares

Primero hay que tener en cuenta lo siguiente para poder calcular el área, volumen y radios de los poliedros regulares presentados:
$A =$ área
$V =$ volumen
$a = $ arista
$R =$ radio de la esfera circunscrita
$r =$ radio de la esfera inscrita
$\rho =$ radio de la esfera tangente a las aristas

Fórmula para el cálculo del área, volumen y radios de un tetraedro

Área de un tetraedro

$$A = a^{2}\sqrt{3} = \cfrac{8}{3} \ R^{2}\sqrt{3} = 24r^{2} \sqrt{3} = 8 \rho \sqrt{3}$$

Volumen de un tetraedro

$$V = \cfrac{a^{3}}{12} \sqrt{2} = \cfrac{8}{27} \ R^{3}\sqrt{3} = 8r^{3} \sqrt{3} = \cfrac{8}{3} \ \rho^{3}$$

Radios de un tetraedro

$$R = \cfrac{a}{4} \sqrt{6} , \quad r = \cfrac{a}{12}\sqrt{6}$$

Fórmulas para el cálculo del área, volumen y radios de un hexaedro o cubo

Área de un cubo

$$A = 6a^{2} = 8R^{2} = 24r^{2} = 12 \rho ^{2}$$

Volumen de un cubo

$$V = a^{3} = \cfrac{8}{9} \ R^{3}\sqrt{3} = 8r^{3} = 2\rho^{3}\sqrt{2}$$

Radios de un cubo

$$R = \cfrac{a}{2}\sqrt{3}, \quad r = \cfrac{a}{2}$$

Fórmulas para el cálculo del área, volumen y radios de un octaedro

Área de un octaedro

$$A = 2a^{3}\sqrt{3} = 4R^{2} \sqrt{3} = 12r^{2}\sqrt{3} = 8 \rho ^{2}\sqrt{3}$$

Volumen de un octaedro

$$V = \cfrac{a^{3}}{3}\sqrt{2} = \cfrac{4}{3} \ R^{3} = 4 r^{3} \sqrt{3} = \cfrac{8}{3} \ \rho^{3} \sqrt{2}$$

Radios de un octaedro

$$R = \cfrac{a}{2}\sqrt{2}, \quad r = \cfrac{a}{6}\sqrt{6}$$

Fórmula para el cálculo del área, volumen y radios de un dodecaedro

Área de un dodecaedro

$$A = 3 a^{2}\sqrt{5 \left ( 5 + 2\sqrt{5} \right ) } = 2 R^{2} \sqrt{10 \left ( 5 – \sqrt{5} \right )}$$

$$A = 30r^{2} \sqrt{2\left ( 65 – 29 \sqrt{5} \right )} = 6\rho^{2}\sqrt{10 \left (25 – 11 \sqrt{5} \right )}$$

Volumen de un dodecaedro

$$V = \cfrac{a^{3}}{4} \left ( 15 + 7\sqrt{5} \right ) = \cfrac{2 R^{3}}{9}\left ( 5\sqrt{3} + \sqrt{15} \right )$$

$$V = 10r^{3} \sqrt{2 \left ( 65 – 29\sqrt{5} \right )} = 2\rho^{3} \left ( 3\sqrt{5} – 5\right )$$

Radios de un dodecaedro

$$R = \cfrac{a}{4}\left ( \sqrt{3} + \sqrt{15} \right ), \quad r = \cfrac{a}{20}\sqrt{10 \left ( 25 + 11 \sqrt{5} \right )}$$

Fórmulas para el cálculo del área, volumen y radios de un icosaedro

Área de un icosaedro

$$A = 5a^{2} \sqrt{3} = 2R^{2}\sqrt{3} \left ( 5 – \sqrt{5} \right )$$

$$A = 30r^{2}\sqrt{3} \left ( 7 – 3\sqrt{5} \right ) = 10 \rho^{2}\sqrt{3}\left ( 3 – \sqrt{5} \right )$$

Volumen de un icosaedro

$$V = \cfrac{5a^{3}}{12} \left ( 3 + \sqrt{5} \right ) = \cfrac{2R^{3}}{3} \left ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\right )$$

$$V = 10r^{3} \sqrt{3} \left ( 7 – 3 \sqrt{5} \right ) = \cfrac{10 \rho^{3}}{3}\left ( \sqrt{5} – 1 \right )$$

Radios de un icosaedro

$$R = \cfrac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}, \quad r = \cfrac{a\sqrt{3}}{12} \left ( 3 + \sqrt{5} \right )$$

Las fórmulas mencionadas anteriormente se tomaron de la siguiente referencia:

Spiegel, M. (1999). Manual de fórmulas y tablas matemáticas, D.F.,México, McGRAW-HILL.

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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