¿Qué es un poliedro?
Un poliedro es un sólido el cual está limitado sólo por superficies planas a las cuales llamamos con el nombre de caras, a las intersecciones de las caras se les llama aristas y a los puntos donde se cortan las aristas se les llama vértices. Se les llama diagonales a las líneas que unen vértices que no pertenecen a la misma cara.
¿Qué es un poliedro regular?
Como ya podrás imaginar, un poliedro regular es aquel que todas sus caras son polígonos regulares. En total sólo existen 5 poliedros regulares que seguro ya conoces, cada uno de estos poliedros tienen el prefijo de la cantidad del número de caras. Veamos la figura desglosada como se vería sin estar armada y veamos la figura armada:
Tetraedro regular
Cuántas caras tiene un tetraedro regular:
El tetraedro regular es un poliedro regular que consta de 4 caras.
Hexaedro regular o cubo
Cuántas caras tiene un hexaedro regular:
El hexaedro regular es un poliedro regular que consta de 6 caras.
Octaedro regular
Cuántas caras tiene un octaedro regular:
El octaedro regular es un poliedro regular que consta de 8 caras.
Dodecaedro regular
Cuántas caras tiene un dodecaedro regular:
El dodecaedro regular es un poliedro regular que consta de 12 caras.
Icosaedro regular
Cuántas caras tiene un icosaedro regular:
El icosaedro regular es un poliedro regular que consta de 20 caras.
Áreas y volúmenes de los poliedros regulares
Primero hay que tener en cuenta lo siguiente para poder calcular el área, volumen y radios de los poliedros regulares presentados:
$A =$ área
$V =$ volumen
$a = $ arista
$R =$ radio de la esfera circunscrita
$r =$ radio de la esfera inscrita
$\rho =$ radio de la esfera tangente a las aristas
Fórmula para el cálculo del área, volumen y radios de un tetraedro
Área de un tetraedro
$$A = a^{2}\sqrt{3} = \cfrac{8}{3} \ R^{2}\sqrt{3} = 24r^{2} \sqrt{3} = 8 \rho \sqrt{3}$$
Volumen de un tetraedro
$$V = \cfrac{a^{3}}{12} \sqrt{2} = \cfrac{8}{27} \ R^{3}\sqrt{3} = 8r^{3} \sqrt{3} = \cfrac{8}{3} \ \rho^{3}$$
Radios de un tetraedro
$$R = \cfrac{a}{4} \sqrt{6} , \quad r = \cfrac{a}{12}\sqrt{6}$$
Tetraedro circunscrito a la esfera
Tetraedro inscrito en la esfera
Tatraedro tangente a la esfera
Fórmulas para el cálculo del área, volumen y radios de un hexaedro o cubo
Área de un cubo
$$A = 6a^{2} = 8R^{2} = 24r^{2} = 12 \rho ^{2}$$
Volumen de un cubo
$$V = a^{3} = \cfrac{8}{9} \ R^{3}\sqrt{3} = 8r^{3} = 2\rho^{3}\sqrt{2}$$
Radios de un cubo
$$R = \cfrac{a}{2}\sqrt{3}, \quad r = \cfrac{a}{2}$$
Cubo circunscrito a la esfera
Cubo inscrito en la esfera
Cubo tangente a la esfera
Fórmulas para el cálculo del área, volumen y radios de un octaedro
Área de un octaedro
$$A = 2a^{3}\sqrt{3} = 4R^{2} \sqrt{3} = 12r^{2}\sqrt{3} = 8 \rho ^{2}\sqrt{3}$$
Volumen de un octaedro
$$V = \cfrac{a^{3}}{3}\sqrt{2} = \cfrac{4}{3} \ R^{3} = 4 r^{3} \sqrt{3} = \cfrac{8}{3} \ \rho^{3} \sqrt{2}$$
Radios de un octaedro
$$R = \cfrac{a}{2}\sqrt{2}, \quad r = \cfrac{a}{6}\sqrt{6}$$
Octaedro circunscrito a la esfera
Octaedro inscrito en la esfera
Octaedro tangente a la esfera
Fórmula para el cálculo del área, volumen y radios de un dodecaedro
Área de un dodecaedro
$$A = 3 a^{2}\sqrt{5 \left ( 5 + 2\sqrt{5} \right ) } = 2 R^{2} \sqrt{10 \left ( 5 – \sqrt{5} \right )}$$
$$A = 30r^{2} \sqrt{2\left ( 65 – 29 \sqrt{5} \right )} = 6\rho^{2}\sqrt{10 \left (25 – 11 \sqrt{5} \right )}$$
Volumen de un dodecaedro
$$V = \cfrac{a^{3}}{4} \left ( 15 + 7\sqrt{5} \right ) = \cfrac{2 R^{3}}{9}\left ( 5\sqrt{3} + \sqrt{15} \right )$$
$$V = 10r^{3} \sqrt{2 \left ( 65 – 29\sqrt{5} \right )} = 2\rho^{3} \left ( 3\sqrt{5} – 5\right )$$
Radios de un dodecaedro
$$R = \cfrac{a}{4}\left ( \sqrt{3} + \sqrt{15} \right ), \quad r = \cfrac{a}{20}\sqrt{10 \left ( 25 + 11 \sqrt{5} \right )}$$
Dodecaedro circunscrito a la esfera
Dodecaedro inscrito en la esfera
Dodecaedro tangente a la esfera
Fórmulas para el cálculo del área, volumen y radios de un icosaedro
Área de un icosaedro
$$A = 5a^{2} \sqrt{3} = 2R^{2}\sqrt{3} \left ( 5 – \sqrt{5} \right )$$
$$A = 30r^{2}\sqrt{3} \left ( 7 – 3\sqrt{5} \right ) = 10 \rho^{2}\sqrt{3}\left ( 3 – \sqrt{5} \right )$$
Volumen de un icosaedro
$$V = \cfrac{5a^{3}}{12} \left ( 3 + \sqrt{5} \right ) = \cfrac{2R^{3}}{3} \left ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\right )$$
$$V = 10r^{3} \sqrt{3} \left ( 7 – 3 \sqrt{5} \right ) = \cfrac{10 \rho^{3}}{3}\left ( \sqrt{5} – 1 \right )$$
Radios de un icosaedro
$$R = \cfrac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}, \quad r = \cfrac{a\sqrt{3}}{12} \left ( 3 + \sqrt{5} \right )$$
Icosaedro inscrito en la esfera
Icosaedro inscrito en la esfera más realista
Las fórmulas mencionadas anteriormente se tomaron de la siguiente referencia:
Spiegel, M. (1999). Manual de fórmulas y tablas matemáticas, D.F.,México, McGRAW-HILL.
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