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Hallar el punto más alto de la parábola

Genial, vamos con casos más prácticos, un túnel. Porque ahora primero construyes el túnel y luego determinas su punto más alto, ¿no te ha pasado? ¡Empecemos!

Un túnel tiene una forma parabólica tal que su ecuación se puede escribir de la forma $x^{2} – 8x + 8y – 32 = 0$, determine el punto más alto.

tunel parabolico
El túnel parabólico.

Bien, para determinar el punto más alto, vamos a tomar la ecuación que nos dieron y vamos a dejar las $x$’s de un lado de la ecuación y las $y$’s del otro lado de la ecuación:

$$x^{2}-8x = -8y+32$$

Para poder continuar con la resolución para hallar la ecuación canónica de la parábola, hay que saber una maña para completar el binomio al cuadrado sin tener que tantear números.

Okay, sabemos muy bien que el binomio al cuadrado perfecto dice que un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primero término por el segundo más el cuadrado del segundo término, o sea:

$$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$

Entonces, para saber qué numero es el que vamos a agregar para completar el binomio, observaremos que $-8x$ es la parte de en medio del resultado del binomio, o sea el doble producto del primer término por el segundo, en términos matemáticos es $2ab$.

Bien, ahora lo que tenemos que hacer es igualar ese $2ab$ con $-8x$:

$$2ab = -8x$$

Lo que nos falta es hallar el segundo término, o sea $b$ porque ya sabemos qué es $a$, $a$ es igual a $x$, así que sustituimos $a$ con $x$:

$$2xb = -8x$$

Ahora despejaremos para obtener el valor del segundo término:

$$b = \cfrac{-8x}{2x}$$

Cancelaremos las $x$’s:

$$b = \cfrac{-8}{2}$$

Y $-8$ entre $2$ es igual a $-4$:

$$b = -4$$

Ahora que ya tenemos el valor del segundo término, sólo tenemos que acompletarlo en la ecuación que nos dieron de la parábola, eso quiere decir que a $x^{2}-8x$ le vamos a sumar un $16$ para que el binomio esté completo, de igual forma hay que sumar un 16 del otro lado de la ecuación para que esté balanceada:

$$x^{2}-8x+16=-8y+32+16$$

Sumaremos el $32$ con el $16$:

$$x^{2}-8x+16=-8y+48$$

Ahora sí, el producto notable de $x^{2}-8x+16$ es:

$$(x-4)^{2}$$

Lo escribiremos en la ecuación y factorizaremos un $-8$ del lado de la ecuación donde se encuentra la $y$:

$$(x-4)^{2}=-8(y-6)$$

Lo que nos da como resultado que el punto más alto de la parábola es igual al vértice porque la parábola es vertical que abre hacia abajo:

$$V(4,6)$$

Además la parábola obtenida tiene lógica porque con lo que se supone que estamos trabajando es con un túnel y un túnel de la actualidad no es alguna parábola que abra hacia arriba o que sea horizontal y que abra hacia la derecha o a la izquierda.

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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