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Hallar la ecuación de una parábola, ejercicio 2

Vamos a hallar la ecuación de una parábola la cual sólo nos dan el foco y la directriz, comencemos.

Hallaremos la ecuación de la parábola que tiene el foco en el punto $F(-5,3)$ y su directriz es $y_{d} – 8 = 0$. Así que lo recomendable es colocar el foco y la directriz en un plano cartesiano para que se puedan visualizar mejor:

parabola, directriz, foco

Con esos dos datos, la gráfica de la parábola se visualizará de la siguiente manera:parabola grafica

Ahora vamos a hallar la ecuación de la parábola

La forma que tiene la ecuación de esta parábola es la siguiente:

$$(x – x_{0})^{2} = -4p(y – y_{0})$$

En el caso de esta parábola, el foco se representa como $F(x_{0},y_{0} – p)$, lo que quiere decir que:

$$y_{0} – p = 3$$

Tomando el mismo punto $x_{0}$, o sea $-5$, tomaremos un punto en la directriz que es igual a $(-5,8)$, lo que quiere decir que nosotros podemos escribir:

$$y_{0} + p = y_{d}$$

Como nosotros ya tenemos el valor de $y_{0} + p = y_{d}$ que es $y_{d} = 8$, tendremos la siguiente ecuación:

$$y_{0}+p = 8$$

Ahora lo que se hará es plantear un sistema de ecuaciones con las dos ecuaciones calculadas:

$$y_{0}+p = 8$$

$$y_{0} – p = 3$$

Utilizando el método de suma de ecuaciones, tendremos lo siguiente:

$$2y_{0} = 11$$

Ahora pasaremos dividiendo el 2 al 11:

$$y_{0} = \cfrac{11}{2}$$

Y una vez con el valor de $y_{0}$, podemos calcular fácilmente el valor de $p$, así que tomaremos cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de ecuaciones, sustituiremos la $y_{0}$ y hallaremos la $p$:

$$y_{0} + p = 8$$

$$\cfrac{11}{2} + p = 8$$

$$p = 8 – \cfrac{11}{2}$$

$$p = \cfrac{5}{2}$$

Finalmente tenemos la ecuación de la parábola

Ahora con todos los valores calculados, podemos fácilmente escribir la ecuación de nuestra parábola, $y_{0} = \cfrac{11}{2}$, $x_{0} = -5$ y $p = \cfrac{5}{2}$:

$$(x+5)^{2} = -10(y – \cfrac{11}{2})$$

La ecuación obtenida es la ecuación canónica de la parábola.

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