Vamos a hallar la ecuación de una parábola la cual sólo nos dan el foco y la directriz, comencemos.
Hallaremos la ecuación de la parábola que tiene el foco en el punto F(-5,3) y su directriz es y_{d} - 8 = 0. Así que lo recomendable es colocar el foco y la directriz en un plano cartesiano para que se puedan visualizar mejor:
Con esos dos datos, la gráfica de la parábola se visualizará de la siguiente manera:
Ahora vamos a hallar la ecuación de la parábola
La forma que tiene la ecuación de esta parábola es la siguiente:
(x - x_{0})^{2} = -4p(y - y_{0})
En el caso de esta parábola, el foco se representa como F(x_{0},y_{0} - p), lo que quiere decir que:
y_{0} - p = 3
Tomando el mismo punto x_{0}, o sea -5, tomaremos un punto en la directriz que es igual a (-5,8), lo que quiere decir que nosotros podemos escribir:
y_{0} + p = y_{d}
Como nosotros ya tenemos el valor de y_{0} + p = y_{d} que es y_{d} = 8, tendremos la siguiente ecuación:
y_{0}+p = 8
Ahora lo que se hará es plantear un sistema de ecuaciones con las dos ecuaciones calculadas:
y_{0}+p = 8
y_{0} - p = 3
Utilizando el método de suma de ecuaciones, tendremos lo siguiente:
2y_{0} = 11
Ahora pasaremos dividiendo el 2 al 11:
y_{0} = \cfrac{11}{2}
Y una vez con el valor de y_{0}, podemos calcular fácilmente el valor de p, así que tomaremos cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de ecuaciones, sustituiremos la y_{0} y hallaremos la p:
y_{0} + p = 8
\cfrac{11}{2} + p = 8
p = 8 - \cfrac{11}{2}
p = \cfrac{5}{2}
Finalmente tenemos la ecuación de la parábola
Ahora con todos los valores calculados, podemos fácilmente escribir la ecuación de nuestra parábola, y_{0} = \cfrac{11}{2}, x_{0} = -5 y p = \cfrac{5}{2}:
(x+5)^{2} = -10(y - \cfrac{11}{2})
La ecuación obtenida es la ecuación canónica de la parábola.
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