Vamos a hallar la ecuación de una parábola la cual sólo nos dan el foco y la directriz, comencemos.
Hallaremos la ecuación de la parábola que tiene el foco en el punto $F(-5,3)$ y su directriz es $y_{d} – 8 = 0$. Así que lo recomendable es colocar el foco y la directriz en un plano cartesiano para que se puedan visualizar mejor:
Con esos dos datos, la gráfica de la parábola se visualizará de la siguiente manera:
Ahora vamos a hallar la ecuación de la parábola
La forma que tiene la ecuación de esta parábola es la siguiente:
$$(x – x_{0})^{2} = -4p(y – y_{0})$$
En el caso de esta parábola, el foco se representa como $F(x_{0},y_{0} – p)$, lo que quiere decir que:
$$y_{0} – p = 3$$
Tomando el mismo punto $x_{0}$, o sea $-5$, tomaremos un punto en la directriz que es igual a $(-5,8)$, lo que quiere decir que nosotros podemos escribir:
$$y_{0} + p = y_{d}$$
Como nosotros ya tenemos el valor de $y_{0} + p = y_{d}$ que es $y_{d} = 8$, tendremos la siguiente ecuación:
$$y_{0}+p = 8$$
Ahora lo que se hará es plantear un sistema de ecuaciones con las dos ecuaciones calculadas:
$$y_{0}+p = 8$$
$$y_{0} – p = 3$$
Utilizando el método de suma de ecuaciones, tendremos lo siguiente:
$$2y_{0} = 11$$
Ahora pasaremos dividiendo el 2 al 11:
$$y_{0} = \cfrac{11}{2}$$
Y una vez con el valor de $y_{0}$, podemos calcular fácilmente el valor de $p$, así que tomaremos cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de ecuaciones, sustituiremos la $y_{0}$ y hallaremos la $p$:
$$y_{0} + p = 8$$
$$\cfrac{11}{2} + p = 8$$
$$p = 8 – \cfrac{11}{2}$$
$$p = \cfrac{5}{2}$$
Finalmente tenemos la ecuación de la parábola
Ahora con todos los valores calculados, podemos fácilmente escribir la ecuación de nuestra parábola, $y_{0} = \cfrac{11}{2}$, $x_{0} = -5$ y $p = \cfrac{5}{2}$:
$$(x+5)^{2} = -10(y – \cfrac{11}{2})$$
La ecuación obtenida es la ecuación canónica de la parábola.
Gracias por estar en este momento con nosotros : )