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Hallar la ecuación de una parábola, ejercicio 2

Vamos a hallar la ecuación de una parábola la cual sólo nos dan el foco y la directriz, comencemos.

Hallaremos la ecuación de la parábola que tiene el foco en el punto F(-5,3) y su directriz es y_{d} - 8 = 0. Así que lo recomendable es colocar el foco y la directriz en un plano cartesiano para que se puedan visualizar mejor:

parabola, directriz, foco

Con esos dos datos, la gráfica de la parábola se visualizará de la siguiente manera:parabola grafica

Ahora vamos a hallar la ecuación de la parábola

La forma que tiene la ecuación de esta parábola es la siguiente:

(x - x_{0})^{2} = -4p(y - y_{0})

En el caso de esta parábola, el foco se representa como F(x_{0},y_{0} - p), lo que quiere decir que:

y_{0} - p = 3

Tomando el mismo punto x_{0}, o sea -5, tomaremos un punto en la directriz que es igual a (-5,8), lo que quiere decir que nosotros podemos escribir:

y_{0} + p = y_{d}

Como nosotros ya tenemos el valor de y_{0} + p = y_{d} que es y_{d} = 8, tendremos la siguiente ecuación:

y_{0}+p = 8

Ahora lo que se hará es plantear un sistema de ecuaciones con las dos ecuaciones calculadas:

y_{0}+p = 8

y_{0} - p = 3

Utilizando el método de suma de ecuaciones, tendremos lo siguiente:

2y_{0} = 11

Ahora pasaremos dividiendo el 2 al 11:

y_{0} = \cfrac{11}{2}

Y una vez con el valor de y_{0}, podemos calcular fácilmente el valor de p, así que tomaremos cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de ecuaciones, sustituiremos la y_{0} y hallaremos la p:

y_{0} + p = 8

\cfrac{11}{2} + p = 8

p = 8 - \cfrac{11}{2}

p = \cfrac{5}{2}

Finalmente tenemos la ecuación de la parábola

Ahora con todos los valores calculados, podemos fácilmente escribir la ecuación de nuestra parábola, y_{0} = \cfrac{11}{2}, x_{0} = -5 y p = \cfrac{5}{2}:

(x+5)^{2} = -10(y - \cfrac{11}{2})

La ecuación obtenida es la ecuación canónica de la parábola.

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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