Fórmulas de la sumatoria y propiedades 📖

Notación de la sumatoria o sumatorio

$$\sum_{i=l}^{n}a_{i}$$

Veamos los elementos de la notación sigma:

$i=$ índice o variable de la suma

$a_{i}=$ i-ésimo elemento de la suma

$n=$ número de términos de la suma

$l=$ comienzo de $i$

Propiedades de la sumatoria

Las propiedades de la sigma son las siguientes:

1. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}ka_{i} = k\sum_{i=1}^{n}a_{i}$    $k = cte$
2. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{i}) =$ $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{i}$

Las fórmulas de la sumatoria

A continuación veremos las fórmulas de sumatorias desde una constante hasta $i^{8}$, recuerda que los exponentes de las $i$ tienen que ser números enteros y positivos.

1. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\text{constante} = n\cdot \text{constante}$
2. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ $= \cfrac{n(n+1)}{2}$
3. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{2}= 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ $= \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
4. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{3}= 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}$ $= \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
5. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{4}= 1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + n^{4}$ $= \cfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2} + 3n – 1)}{30}$
6. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{5}= 1^{5} + 2^{5} + 3^{5} + \dots + n^{5}$ $= \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2} + 2n – 1)}{12}$
7. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{6}= 1^{6} + 2^{6} + 3^{6} + \dots + n^{6}$ $= \cfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^{4} + 6n^{3} – 3n + 1)}{42}$
8. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{7}= 1^{7} + 2^{7} + 3^{7} + \dots + n^{7}$ $= \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4} + 6n^{3} – n^{2} – 4n + 2)}{24}$
9. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{8}= 1^{8} + 2^{8} + 3^{8} + \dots + n^{8} $ $= \cfrac{n(n+1)(2n+1)(5n^{6} + 15n^{5} + 5n^{4} – 15n^{3} – n^{2} + 9n – 3)}{90}$

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