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Fórmulas de la sumatoria y propiedades 📖

Notación de la sumatoria o sumatorio

\displaystyle \sum_{i=l}^{n}a_{i}

Veamos los elementos de la notación sigma:

i= índice o variable de la suma

a_{i}= i-ésimo elemento de la suma

n= número de términos de la suma

l= comienzo de i

Propiedades de la sumatoria

Las propiedades de las sumatorias son las siguientes:

  1. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}ka_{i} = k\sum_{i=1}^{n}a_{i}   k = cte
  2. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{i}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{i}

Las fórmulas de la sumatoria

A continuación veremos las fórmulas de sumatorias o lo que también se le conocen como fórmulas de notación sigma desde una constante hasta i^{10}, recuerda que los exponentes de las i tienen que ser números enteros y positivos.

  1. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\text{constante} = n\cdot \text{constante}
  2. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \cfrac{n(n+1)}{2}
  3. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{2}= 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  4. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{3}= 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
  5. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{4}= 1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + n^{4} = \cfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2} + 3n - 1)}{30}
  6. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{5}= 1^{5} + 2^{5} + 3^{5} + \dots + n^{5} = \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2} + 2n - 1)}{12}
  7. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{6}= 1^{6} + 2^{6} + 3^{6} + \dots + n^{6} = \cfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^{4} + 6n^{3} - 3n + 1)}{42}
  8. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{7}= 1^{7} + 2^{7} + 3^{7} + \dots + n^{7} = \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4} + 6n^{3} - n^{2} - 4n + 2)}{24}
  9. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{8}= 1^{8} + 2^{8} + 3^{8} + \dots + n^{8} = \cfrac{n(n+1)(2n+1)(5n^{6} + 15n^{5} + 5n^{4} - 15n^{3} - n^{2} + 9n - 3)}{90}
  10. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{9}= 1^{9} + 2^{9} + 3^{9} + \dots + n^{9} = \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}(n^{2}+n-1)(2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-3n+3)}{20}
  11. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{10}= 1^{10} + 2^{10 } + 3^{10} + \dots + n^{10} = \cfrac{n(n+1)(2n+1)(n^{2}+n-1)(3n^{6}+9n^{5}+2n^{4}-11n^{3}+3n^{2}+10n-5)}{66}

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