La fórmula de integral de sec es:
\displaystyle \int \sec u \cdot du = \log \left(\sec u + \tan u\right)
De tantas integrales trigonométricas, a continuación veremos unos ejemplos para la integral de la secante:
Ejemplo 1. Integral de la secante de x
\displaystyle \int \sec x \ dx
La integral de secante se puede deducir si sabes algunas fórmulas de derivación, en seguida vamos a ver la manera de cómo llegar al resultado de \log \left( \sec x + \tan x \right) con las fórmulas de las derivadas. ¡Empecemos!
Para empezar con esta integral, hay un truco muy poderoso que nos permite resolverla, vamos a multiplicar el \sec x por una fracción que contiene \sec x + \tan x en el denominador y en el numerador.
\displaystyle \int \sec x \cfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x} dx
Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:
\displaystyle \int \cfrac{\sec^{2}x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx
Seguidamente nombraremos u a \sec x + \tan x y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \sec x es igual a \sec x \tan x y la derivada de \tan x es igual a \sec^{2} x:
u = \sec x + \tan x
du = \left(\sec x \tan x + \sec^{2} x\right) dx
Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:
\displaystyle \int \cfrac{1}{u} \ du
Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:
\displaystyle \int \cfrac{1}{u} \ du = \log (u)
Finalmente sustituimos el u para obtener nuestro resultado final:
\log\left(\sec x + \tan x \right)
Ejemplo 2. Integral de secante de 2x
\displaystyle \int \sec (2x) dx
El proceso de resolución es muy parecido al del ejemplo anterior, vamos a empezar.
Comencemos reemplazando 2x por v, luego derivamos y despejamos:
dv = 2 \ dx
\cfrac{dv}{2} = dx
Sustituimos en la integral 2x por v y dx por \frac{dv}{2}:
\displaystyle \int \sec v \cfrac{dv}{2}
Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el denominador 2 de la integral:
\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \sec v \ dv
A partir de aquí podemos olvidarnos del \frac{1}{2} (obvio no nos vamos a olvidar del \frac{1}{2}) y hacer la integración directamente con formulazo o aplicar todo el procedimiento ya explicado en el ejemplo anterior.
Vamos a multiplicar el \sec v por una fracción que contiene \sec v + \tan v en el numerador y en el denominador.
\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \sec v \cfrac{\sec v + \tan v}{\sec v + \tan v} dv
Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:
\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{\sec^{2}v + \sec v \tan v}{\sec v + \tan v} dv
Seguidamente nombraremos u a \sec v + \tan v y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \sec x es igual a \sec x \tan x y la derivada de \tan x es igual a \sec^{2} x:
u = \sec v + \tan v
du = \left(\sec v \tan v + \sec^{2} v\right) dv
Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:
\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du
Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:
\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du = \log (u)
Sustituimos el u para obtener:
\cfrac{1}{2} \log\left(\sec v + \tan v \right)
Y finalmente sustituimos v por 2x para obtener nuestro resultado final:
\cfrac{1}{2} \log \left(\sec 2x + \tan 2x\right)
Ejemplo 3. Integral de secante cuadrada
\displaystyle \int \sec^{2}x \ dx
Tal vez a algunos les cause un poco de conflicto la resolución de esta integral, pero sabemos muy bien que las integrales y las derivadas están unidas por un lazo de amistad muy fuerte, lo que quiere decir que si alguien deriva algo y el resultado de ese algo se integra, el resultado va a ser ese algo con el que se empezó. Si alguien deriva x, obtendrá 1, si integra 1, obtendrá x.
La derivada de \tan x es igual a \sec^{2}x \ dx, eso quiere decir que la integral de \sec^{2}x dx es \tan x, así que nuestro resultado final de integral de \sec^{2}x \ dx será:
\tan x
Ejemplo 4. Integral de secante al cubo
\displaystyle \int \sec^{3}(x) dx
Para resolver esta integral, lo que necesitamos es utilizar la fórmula de reducción de secante, así que aplicando la fórmula, obtenemos lo siguiente:
\displaystyle \cfrac{\sin x \sec^{2} x}{2} + \cfrac{1}{2} \int \sec x \ dx
Utilizando las siguientes identidades…
\sec x = \cfrac{1}{\cos x}
\tan x = \cfrac{\sin x}{\cos x}
…llegaremos a nuestra siguiente expresión:
= \cfrac{1}{2} \sec x \tan x + \cfrac{1}{2} \int \sec x \ dx
Aplicando la integral de secante de x, llegaremos a nuestro resultado final:
= \cfrac{1}{2} \sec x \tan x + \cfrac{1}{2} \ln \left| \sec x + \tan x \right|
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