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Sumas de Riemann | Ejercicios, segunda parte

Para la resolución de los ejercicios presentados más abajo, tenemos que aplicar la siguiente suma de Riemann:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x$$

Donde $\Delta x$ y $x_{i}$ se calculan de la siguiente manera:

$$\Delta x = \cfrac{b – a}{n}$$

$$x_{i} = a + i\Delta x$$

Igual vamos a necesitar algunas sumatorias que podrás encontrar haciendo click aquí.

Ejercicio 1 de las sumas de Riemann

Evalúa $f(x) = (x^{3} – 1)$ en el intervalo $[0,1]$ utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente.

El valor del intervalo que está más a la izquierda es $a=0$ y el otro es $b=1$, planteemos las ecuaciones de $\Delta x$ y $x_{i}$:

$$\Delta x = \cfrac{1 – (0)}{n} = \cfrac{1}{n}$$

$$x_{i} = a + i  + \Delta x = 0 + \cfrac{i}{n} = \cfrac{i}{n}$$

Ahora sí, planteemos la sumatoria a resolver, vamos a sustituir $\Delta x$ por lo que calculamos y vamos a sustituir todas las $x$ de la función $f(x)$ por lo que hayamos calculado en $x_{i}$ anteriormente:

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\left[ \left(\cfrac{i}{n} \right)^{3} – 1 \right] \left( \cfrac{1}{n} \right)=$$

Elevemos al cubo y luego multipliquemos el paréntesis con el corchete:

$$\sum_{i=1}^{n} \left[\cfrac{i^{3}}{n^{3}} – 1 \right] \left(\cfrac{1}{n} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( \cfrac{i^{3}}{n^{4}} – \cfrac{1}{n} \right)$$

Ahora vamos a dividir nuestra resta de la sumatoria en una resta de sumatorias:

$$\sum_{i=1}^{n}\cfrac{i^{3}}{n^{4}} – \sum_{i=1}^{n}\cfrac{1}{n}$$

Sacaremos todo lo que no sea $i$ de las sumatorias por propiedades de la sumatorias ya que todo lo que no es $i$ es considerado una constante:

$$\cfrac{1}{n^{4}} \sum_{i=1}^{n} i^{3} – \cfrac{1}{n}  \sum_{i=1}^{n} 1$$

Aplicando fórmulas de sumatorias, obtendremos lo siguiente:

$$\cfrac{1}{n^{4}} \left[ \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \right] – \cfrac{1}{n} [n]$$

Ahora sólo vamos a simplificar lo más que podamos:

$$= \cfrac{1}{4n^{2}}\left[ (n+1)^{2} \right] – 1 = \cfrac{1}{4n^{2}}(n^{2} + 2n + 1) – 1$$

$$= \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{4n^{2}} – 1$$

Sólo falta aplicar el concepto de límite para obtener nuestro resultado final:

$$\underset{n \to \infty} \lim \; \left[ \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{4n^{2}} – 1 \right] = -\cfrac{3}{4}$$

Respuesta final: $-\cfrac{3}{4}$

Calculemos la integral de la función $f(x)$ en el intervalo de $[0,1]$:

$$\int_{0}^{1}(x^{3} – 1) dx = \left[ \cfrac{x^{4}}{4} – x \right]_{0}^{1}$$

Evaluamos:

$$=\cfrac{1}{4} – 1 = -\cfrac{3}{4}$$

¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de $-\frac{3}{4}$ es correcto!

Ejercicio 2 de las sumas de Riemann

Evalúa $f(x) = 4$ en el intervalo $[3,6]$ utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente. Este ejercicio de sumatoria de Riemann es muy sencillo.

Calculemos $\Delta x$ y $x_{i}$:

$$\Delta x = \cfrac{6 – (3)}{n} = \cfrac{3}{n}$$

$$x_{i} = 3+ i \Delta x = 3 + \cfrac{3i}{n}$$

Ahora sí, planteemos nuestra sumatoria, sustituiremos el valor de $\Delta x$, y como no tenemos $x$ en la función de $f(x)$ mantendremos el valor de 4, pero dejemos de hablar y planteemos nuestras ecuaciones para que se entienda mejor:

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x = \sum_{i=1}^{n} f\left( 3 + \cfrac{3i}{n}\right) \left(\cfrac{3}{n} \right) = \sum_{i=1}^{n} [4]\left(\cfrac{3}{n} \right)$$

Multiplicamos el corchete con el paréntesis:

$$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{12}{n}$$

Y sacamos todo lo que no sea $i$ de la sumatoria ya que todo lo que no es $i$ es considerado una constante:

$$\cfrac{12}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \cfrac{12}{n} [n] = 12$$

Ahora aplicamos el concepto de límite:

$$\underset{n \to \infty} \lim \; 12 = 12$$

Respuesta final: $12$

Finalmente calculemos la integral de la función $f(x)$ en el intervalo de $[3,6]$:

$$\int_{3}^{6}4 \ dx = \left[ 4 x \right]_{3}^{6}$$

Evaluamos:

$$4(6) – 4(3) = 24 – 12 = 12$$

¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de $12$ es correcto!

Aquí puedes visitar la parte 1.

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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Comments (2)

Muchas gracias. Me fue de mucha utilidad

¡Gracias a ti, Guillermo!