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Sumas de Riemann | Ejercicios, segunda parte

Para la resolución de los ejercicios presentados más abajo, tenemos que aplicar la siguiente suma de Riemann:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x

Donde \Delta x y x_{i} se calculan de la siguiente manera:

\Delta x = \cfrac{b - a}{n}

x_{i} = a + i\Delta x

Igual vamos a necesitar algunas sumatorias que podrás encontrar haciendo click aquí.

Ejercicio 1 de las sumas de Riemann

Evalúa f(x) = (x^{3} - 1) en el intervalo [0,1] utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente.

El valor del intervalo que está más a la izquierda es a=0 y el otro es b=1, planteemos las ecuaciones de \Delta x y x_{i}:

\Delta x = \cfrac{1 - (0)}{n} = \cfrac{1}{n}

x_{i} = a + i  + \Delta x = 0 + \cfrac{i}{n} = \cfrac{i}{n}

Ahora sí, planteemos la sumatoria a resolver, vamos a sustituir \Delta x por lo que calculamos y vamos a sustituir todas las x de la función [katefx](x)[/katex] por lo que hayamos calculado en x_{i} anteriormente:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\left[ \left(\cfrac{i}{n} \right)^{3} - 1 \right] \left( \cfrac{1}{n} \right)=

Elevemos al cubo y luego multipliquemos el paréntesis con el corchete:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left[\cfrac{i^{3}}{n^{3}} - 1 \right] \left(\cfrac{1}{n} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( \cfrac{i^{3}}{n^{4}} - \cfrac{1}{n} \right)

Ahora vamos a dividir nuestra resta de la sumatoria en una resta de sumatorias:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\cfrac{i^{3}}{n^{4}} - \sum_{i=1}^{n}\cfrac{1}{n}

Sacaremos todo lo que no sea i de las sumatorias por propiedades de la sumatorias ya que todo lo que no es i es considerado una constante:

\displaystyle \cfrac{1}{n^{4}} \sum_{i=1}^{n} i^{3} - \cfrac{1}{n}  \sum_{i=1}^{n} 1

Aplicando fórmulas de sumatorias, obtendremos lo siguiente:

\cfrac{1}{n^{4}} \left[ \cfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \right] - \cfrac{1}{n} [n]

Ahora sólo vamos a simplificar lo más que podamos:

= \cfrac{1}{4n^{2}}\left[ (n+1)^{2} \right] - 1 = \cfrac{1}{4n^{2}}(n^{2} + 2n + 1) - 1

= \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{4n^{2}} - 1

Sólo falta aplicar el concepto de límite para obtener nuestro resultado final:

\underset{n \to \infty} \lim \; \left[ \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{4n^{2}} - 1 \right] = -\cfrac{3}{4}

Respuesta final: -\cfrac{3}{4}

Calculemos la integral de la función f(x) en el intervalo de [0,1]:

\displaystyle \int_{0}^{1}(x^{3} - 1) dx = \left[ \cfrac{x^{4}}{4} - x \right]_{0}^{1}

Evaluamos:

=\cfrac{1}{4} - 1 = -\cfrac{3}{4}

¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de -\frac{3}{4} es correcto!

Ejercicio 2 de las sumas de Riemann

Evalúa f(x) = 4 en el intervalo [3,6] utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente. Este ejercicio de sumatoria de Riemann es muy sencillo.

Calculemos \Delta x y x_{i}:

\Delta x = \cfrac{6 - (3)}{n} = \cfrac{3}{n}

x_{i} = 3+ i \Delta x = 3 + \cfrac{3i}{n}

Ahora sí, planteemos nuestra sumatoria, sustituiremos el valor de \Delta x, y como no tenemos x en la función de f(x) mantendremos el valor de 4, pero dejemos de hablar y planteemos nuestras ecuaciones para que se entienda mejor:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x = \sum_{i=1}^{n} f\left( 3 + \cfrac{3i}{n}\right) \left(\cfrac{3}{n} \right) = \sum_{i=1}^{n} [4]\left(\cfrac{3}{n} \right)

Multiplicamos el corchete con el paréntesis:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \cfrac{12}{n}

Y sacamos todo lo que no sea i de la sumatoria ya que todo lo que no es i es considerado una constante:

\displaystyle \cfrac{12}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \cfrac{12}{n} [n] = 12

Ahora aplicamos el concepto de límite:

\underset{n \to \infty} \lim \; 12 = 12

Respuesta final: 12

Finalmente calculemos la integral de la función f(x) en el intervalo de [3,6]:

\displaystyle \int_{3}^{6}4 \ dx = \left[ 4 x \right]_{3}^{6}

Evaluamos:

4(6) - 4(3) = 24 - 12 = 12

¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de 12 es correcto!

Aquí puedes visitar la parte 1.

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