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Sumas de Riemann | Ejercicios, primera parte

Para la resolución de los ejercicios presentados más abajo, tenemos que aplicar la siguiente suma de Riemann:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x$$

Donde $\Delta x$ y $x_{i}$ se calculan de la siguiente manera:

$$\Delta x = \cfrac{b – a}{n}$$

$$x_{i} = a + i\Delta x$$

Igual vamos a necesitar algunas sumatorias que podrás encontrar haciendo click aquí.

Ejercicio 1 de las sumas de Riemann

Evalúa $f(x) = x$ en el intervalo $[-3,1]$ utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente.

El valor del intervalo que está más a la izquierda es $a=-3$ y el otro es $b=1$, planteemos las ecuaciones de $\Delta x$ y $x_{i}$:

$$\Delta x = \cfrac{1-(-3)}{n} = \cfrac{4}{n}$$

$$x_{i} = -3 + i \cfrac{4}{n} = -3 + 4 \cfrac{i}{n}$$

Ahora sí, vamos a plantear la sumatoria a resolver, vamos a sustituir $\Delta x$ por lo que calculamos y vamos a sustituir todas las $x$ de la función $f(x)$ por lo que hayamos calculado en $x_{i}$ anteriormente:

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\left( -3 + 4 \cfrac{i}{n}\right) \left( \cfrac{4}{n} \right)$$

Perfecto, ahora multiplicaremos los dos paréntesis que tenemos en la sumatoria:

$$\sum_{i=1}^{n}\left( \cfrac{-12}{n} + 16 \cfrac{i}{n^{2}}\right)$$

Por propiedades de sumatorias, nuestra suma de la sumatoria la dividiremos en una suma de sumatorias:

$$\sum_{i=1}^{n}\cfrac{-12}{n} + \sum_{i=1}^{n}16 \cfrac{i}{n^{2}}$$

Todo lo que no sea $i$ puede salir de la sumatoria por propiedades de las sumatorias ya que todo lo que no es $i$ se considera una constante:

$$-\cfrac{12}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 + \cfrac{16}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n} i$$

Ahora aplicaremos la sumatoria de una constante y la sumatoria de $i$ que puedes encontrar en este artículo y luego procedamos a simplificar:

$$-\cfrac{12}{n}n + \cfrac{16}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] = -12 + \cfrac{16}{n} \left[ \cfrac{n+1}{2} \right]$$

$$=-12 + 8 + \cfrac{8}{n} = -4 + \cfrac{8}{n}$$

Finalmente apliquemos el concepto de límite, que sabiendo cómo funciona, todos los valores que tengan un denominador $n$ serán iguales a cero y los valores que no tengan $n$ se conservan:

$$\underset{n \to \infty} \lim \; -4 + \cfrac{8}{n} = -4 + 0 = – 4$$

Respuesta final: $-4$

Comprobemos, si la integral de la función $f(x)$ con los límites $[-3,1]$ da el mismo resultado, entonces nuestra evaluación de la suma de Riemann es correcta:

$$\int_{-3}^{1}x \ dx = \left[ \cfrac{x^{2}}{2} \right]_{-3}^{1}$$

Evaluamos:

$$= \cfrac{1}{2} – \cfrac{9}{2} = -4$$

¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de $-4$ es correcto!

Ejercicio 2 de las sumas de Riemann

Evalúa $f(x) = x^{2} – x$ en el intervalo $[1,2]$ utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente.

Calculemos $\Delta x$ y $x_{i}$:

$$\Delta x = \cfrac{2 – (1)}{n} = \cfrac{1}{n}$$

$$x_{i} = 1 + \cfrac{i}{n}$$

Ahora sí, vamos a plantear la sumatoria a resolver, vamos a sustituir $\Delta x$ por lo que calculamos anteriormente y vamos a sustituir todas las $x$ de la función $f(x)$ por lo que hayamos calculado en $x_{i}$ anteriormente:

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[\left( 1 + \cfrac{i}{n} \right)^{2} – \left(1 + \cfrac{i}{n} \right) \right] \left(\cfrac{1}{n} \right)$$

Elevemos al cuadrado el paréntesis, recuerda que es un binomio al cuadrado perfecto, por lo tanto tendremos lo siguiente:

$$\sum_{i=1}^{n} \left[ 1 + \cfrac{2i}{n} + \cfrac{i^{2}}{n^{2}} – 1 – \cfrac{i}{n} \right] \left( \cfrac{1}{n} \right) $$

Ahora vamos a reducir términos de lo que está dentro de los corchetes:

$$\sum_{i=1}^{n} \left[ \cfrac{i}{n} + \cfrac{i^{2}}{n^{2}} \right]\left(\cfrac{1}{n} \right)$$

Multiplicaremos el corchete con el paréntesis:

$$\sum_{i=1}^{n} \left( \cfrac{i}{n^{2}} + \cfrac{i^{2}}{n^{3}} \right)$$

Seguidamente dividiremos nuestra suma de la sumatoria en una suma de sumatorias:

$$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{i}{n^{2}} + \sum_{i=1}^{n} \cfrac{i^{2}}{n^{3}}$$

Y todo lo que no sea $i$ puede salir de la sumatoria ya que todo lo que no es $i$ es considerado una constante:

$$\cfrac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i + \cfrac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} i^{2}$$

Si no sabemos la sumatoria de $i$ ni la sumatoria de $i^{2}$, podemos consultarlas haciendo click aquí. Luego de consultarlas, quedará de la siguiente manera:

$$\cfrac{1}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] + \cfrac{1}{n^{3}} \left[ \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$$

Por el momento sólo queda simplificar términos:

$$= \cfrac{1}{2n} [n +1] + \cfrac{1}{6n^{2}} [2n^{2} + n + n + 1] = $$

$$\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{3n} + \cfrac{1}{6n^{2}}$$

Finalmente aplicaremos el concepto de límite, donde todo lo que tenga denominador $n$ es igual a cero:

$$\underset{n \to \infty} \lim \; \left[ \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{3n} + \cfrac{1}{6n^{2}} \right] = \cfrac{5}{6}$$

Respuesta final: $\cfrac{5}{6}$

Ahora calculemos la integral de la función $f(x)$ en el intervalo de $[1,2]$:

$$\int_{1}^{2}(x^{2} – 2) dx = \left[ \cfrac{x^{3}}{3} – \cfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}$$

Evaluamos:

$$= \cfrac{8}{3} – \cfrac{4}{2} – \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2} = \cfrac{5}{6}$$

¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de $\frac{5}{6}$ es correcto!

Notas importantes

  • Si al momento de llegar a la parte de la evaluación de límites te das cuenta de que tienes alguna $n$ con exponente positivo en algún numerador, algún cálculo por ahí no se hizo bien, entonces hay que revisar todas las operaciones de nuevo.
  • No está de más recordarlo (ya que a veces se olvida), pero recuerda que la sumatoria de una constante es igual a $n$ multiplicado por la constante.
  • ¡Ánimo, es fácil hacer estos ejercicios!

Aquí puedes visitar la segunda parte.

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