Para la resolución de los ejercicios presentados más abajo, tenemos que aplicar la siguiente suma de Riemann:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x
Donde \Delta x y x_{i} se calculan de la siguiente manera:
\Delta x = \cfrac{b - a}{n}
x_{i} = a + i\Delta x
Igual vamos a necesitar algunas sumatorias que podrás encontrar haciendo click aquí.
Ejercicio 1 de las sumas de Riemann
Evalúa f(x) = x en el intervalo [-3,1] utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente.
El valor del intervalo que está más a la izquierda es a=-3 y el otro es b=1, planteemos las ecuaciones de \Delta x y x_{i}:
\Delta x = \cfrac{1-(-3)}{n} = \cfrac{4}{n}
x_{i} = -3 + i \cfrac{4}{n} = -3 + 4 \cfrac{i}{n}
Ahora sí, vamos a plantear la sumatoria a resolver, vamos a sustituir \Delta x por lo que calculamos y vamos a sustituir todas las x de la función f(x) por lo que hayamos calculado en x_{i} anteriormente:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\left( -3 + 4 \cfrac{i}{n}\right) \left( \cfrac{4}{n} \right)
Perfecto, ahora multiplicaremos los dos paréntesis que tenemos en la sumatoria:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left( \cfrac{-12}{n} + 16 \cfrac{i}{n^{2}}\right)
Por propiedades de sumatorias, nuestra suma de la sumatoria la dividiremos en una suma de sumatorias:
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{-12}{n} + \sum_{i=1}^{n}16 \cfrac{i}{n^{2}}
Todo lo que no sea i puede salir de la sumatoria por propiedades de las sumatorias ya que todo lo que no es i se considera una constante:
\displaystyle -\cfrac{12}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 + \cfrac{16}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n} i
Ahora aplicaremos la sumatoria de una constante y la sumatoria de i que puedes encontrar en este artículo y luego procedamos a simplificar:
-\cfrac{12}{n}n + \cfrac{16}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] =
Tenemos que el primer término de -\frac{12}{n}n se pueden cancelar las n‘s ya que está una en el numerador y otra en el denominador, para el siguiente término de \cfrac{16}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] vamos a cancelar la n del numerador y la n^{2} se le va a quitar el exponente cuadrado para que se quede con un exponente a la 1. Obtenemos lo siguiente:
-12 + \cfrac{16}{n} \left[ \cfrac{n+1}{2} \right]
En nuestro primer término ya no le podemos hacer nada por el momento, pero en el segundo término podemos dividir el 16 entre 2, para así obtener lo siguiente:
-12 + \cfrac{8}{n} \left[n+1\right]
Con ese resultado procedemos a multiplicar el \frac{8}{n} por lo que se encuentra dentro de los corchetes:
-12 + \cfrac{8n}{n} + \cfrac{8}{n}
El término \frac{8n}{n} se puede simplificar ya que podemos eliminar la n del numerador con la n del denominador:
=-12 + 8 + \cfrac{8}{n}
Restamos -12 + 8 y dejamos como tal el \frac{8}{n} para tener completamente simplificada nuestra expresión:
= -4 + \cfrac{8}{n}
Finalmente apliquemos el concepto de límite, que sabiendo cómo funciona, todos los valores que tengan un denominador n serán iguales a cero y los valores que no tengan n se conservan:
\underset{n \to \infty} \lim \; -4 + \cfrac{8}{n} = -4 + 0 = - 4
Respuesta final: -4
Comprobemos, si la integral de la función f(x) con los límites [-3,1] da el mismo resultado, entonces nuestra evaluación de la suma de Riemann es correcta:
\displaystyle \int_{-3}^{1}x \ dx = \left[ \cfrac{x^{2}}{2} \right]_{-3}^{1}
Evaluamos:
= \cfrac{1}{2} - \cfrac{9}{2} = -4
¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de -4 es correcto!
Ejercicio 2 de las sumas de Riemann
Evalúa f(x) = x^{2} - x en el intervalo [1,2] utilizando suma de Riemann y luego comprueba el resultado usando la integral definida correspondiente.
Calculemos \Delta x y x_{i}:
\Delta x = \cfrac{2 - (1)}{n} = \cfrac{1}{n}
x_{i} = 1 + \cfrac{i}{n}
Ahora sí, vamos a plantear la sumatoria a resolver, vamos a sustituir \Delta x por lo que calculamos anteriormente y vamos a sustituir todas las x de la función f(x) por lo que hayamos calculado en x_{i} anteriormente:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[\left( 1 + \cfrac{i}{n} \right)^{2} - \left(1 + \cfrac{i}{n} \right) \right] \left(\cfrac{1}{n} \right)
Elevemos al cuadrado el paréntesis, recuerda que es un binomio al cuadrado perfecto, por lo tanto tendremos lo siguiente:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left[ 1 + \cfrac{2i}{n} + \cfrac{i^{2}}{n^{2}} - 1 - \cfrac{i}{n} \right] \left( \cfrac{1}{n} \right)
Ahora vamos a reducir términos de lo que está dentro de los corchetes:
\sum_{i=1}^{n} \left[ \cfrac{i}{n} + \cfrac{i^{2}}{n^{2}} \right]\left(\cfrac{1}{n} \right)
Multiplicaremos el corchete con el paréntesis:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( \cfrac{i}{n^{2}} + \cfrac{i^{2}}{n^{3}} \right)
Seguidamente dividiremos nuestra suma de la sumatoria en una suma de sumatorias:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \cfrac{i}{n^{2}} + \sum_{i=1}^{n} \cfrac{i^{2}}{n^{3}}
Y todo lo que no sea i puede salir de la sumatoria ya que todo lo que no es i es considerado una constante:
\displaystyle \cfrac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i + \cfrac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} i^{2}
Si no sabemos la sumatoria de i ni la sumatoria de i^{2}, podemos consultarlas haciendo click aquí. Luego de consultarlas, quedará de la siguiente manera:
\cfrac{1}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] + \cfrac{1}{n^{3}} \left[ \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]
Por el momento sólo queda simplificar términos, eliminaremos el n^2 del denominador con el n del numerador que está a solas del primer término de la expresión para obtener n en el denominador y haremos lo mismo de eliminar el n^3 del denominador con el n del numerador para obtener lo siguiente:
\cfrac{1}{n} \left[ \cfrac{(n+1)}{2} \right] + \cfrac{1}{n^{2}} \left[ \cfrac{(n+1)(2n+1)}{6} \right]
Haremos las operaciones de multiplicación correspondientes del primer término. Con el segundo término primero multiplicaremos los paréntesis de (n+1)(2n+1) y sacaremos el 6 nada más para tener una mejor estética visual.
= \cfrac{1}{2n} [n +1] + \cfrac{1}{6n^{2}} [2n^{2} + n + 2n + 1] =
Lo siguiente que haremos es sumar los términos de 2n^{2} + n + 2n + 1:
= \cfrac{1}{2n} [n +1] + \cfrac{1}{6n^{2}} [2n^{2} + 3n + 1] =
Y ahora lo que haremos es multiplicar los términos correspondientes:
\cfrac{n}{2n} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{2n^{2}}{6n^{2}} + \cfrac{3n}{6n^{2}} + \cfrac{1}{6n^{2}}
Eliminemos valores, en el primer término se pueden eliminar las n‘s, el segundo término se queda tal cual está, el tercer término se elimina el 2 con el 6 y el n^{2} para obtener \frac{1}{3}, el cuarto término se elimina el 3 con el 6 y la n del numerador con el n^{2} del denominador para obtener \frac{1}{2n} y el quinto término se queda tal cual
\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{6n^{2}}
Finalmente aplicaremos el concepto de límite, donde todo lo que tenga denominador n es igual a cero:
\underset{n \to \infty} \lim \; \left[ \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{6n^{2}} \right] = \cfrac{5}{6}
Respuesta final: \cfrac{5}{6}
Ahora calculemos la integral de la función f(x) en el intervalo de [1,2]:
\displaystyle \int_{1}^{2}(x^{2} - x) dx = \left[ \cfrac{x^{3}}{3} - \cfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}
Evaluamos:
= \cfrac{8}{3} - \cfrac{4}{2} - \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2} = \cfrac{5}{6}
¡Excelente, lo que quiere decir que nuestro resultado de \frac{5}{6} es correcto!
Notas importantes
- Si al momento de llegar a la parte de la evaluación de límites te das cuenta de que tienes alguna n con exponente positivo en algún numerador, algún cálculo por ahí no se hizo bien, entonces hay que revisar todas las operaciones de nuevo.
- No está de más recordarlo (ya que a veces se olvida), pero recuerda que la sumatoria de una constante es igual a n multiplicado por la constante.
- ¡Ánimo, es fácil hacer estos ejercicios!
Aquí puedes visitar la segunda parte.
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