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Sólidos de revolución | Ejercicio 1

Un sólido de revolución se genera al girar alrededor del eje $y$, la región acotada por la curva $y = \sqrt[3]{x}$, el eje $x$ y la recta $x = c$ donde $c > 0$. Calcular el valor de $c$ para que el sólido tenga un volumen de $12 \pi u^{3}$. La $u^{3}$ significa unidades cúbicas.

Para hallar el volumen del sólido de revolución, utilizaremos el método de los cascarones cilíndricos.

Grafiquemos la función de $y = \sqrt[3]{x}$ y coloquemos la recta $x=c$

sólido-de-revolución-ejemplo-1Vamos a redactar la ecuación con la cual hallaremos el valor de $c$, lo que haremos es plantear una integral y la igualaremos al valor del volumen de $12 \pi u^{3}$ que nos dice el ejercicio, los límites de la integral tienen que ser desde cero hasta el valor de $c$:

$$V = \int_{0}^{c}2\pi x\sqrt[3]{x} = 12 \pi$$

Por propiedades de las integrales sacaremos las constantes de la integral y reduciremos las equis:

$$2\pi \int_{0}^{c} x^{\frac{4}{3}} = 12 \pi$$

Cancelamos términos y efectuaremos la integral de $x^{\frac{4}{3}}$ que, por regla de la cadena, es igual a $\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}$:

$$\require{cancel} \cancel{2}\cancel{\pi} \int_{0}^{2} x^{\frac{4}{3}} = \cancelto{6}{12}  \cancel{\pi}$$

$$\left. \cfrac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}\right]_{0}^{c} = 6$$

Evaluamos, multiplicaremos por 7 y dividiremos entre 3 toda la igualdad:

$$\cfrac{3c^{\frac{7}{3}}}{7} = 6$$

$$c^{\frac{7}{3}} = 14$$

Seguidamente elevaremos toda la igualdad al cubo para eliminar el denominador 3 de la potencia de $\frac{7}{3}$:

$$c^{7} = 14^{3} = 2744$$

Ahora sacaremos raíz a la 7 a toda la igualdad para obtener el valor de $c$:

$$c = \sqrt[7]{2744} \approx 3.098$$

Así que nuestro valor de $c$ para que el volumen sea de $12\pi u^{3}$, debe de tener un valor de $\sqrt[7]{2744}$.

 

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