Skip to content
RBJLabs ®

Razón de cambio, ejercicio resuelto 1

Este ejercicio se tomó del Swokowski.

Dos atletas se disponen a correr los 100 metros planos. Las distancias s_{1}(t) y s_{2}(t) que cada uno de ellos recorre a los t segundos está dada por s_{1}(t) = \cfrac{1}{5} t^{2} + 8t y s_{2}(t) = \cfrac{1100t}{(t + 100)} para t \ge 0. Determine cuál de los corredores es:

  • El más rápido en la salida

Vamos a utilizar las funciones de distancia de cada atleta y derivaremos ya que recordemos que la derivada de la distancia (o derivada de la posición) es igual a la velocidad.

Analicemos al atleta 1:

La función de la distancia (o posición) del atleta 1 es:

s_{1}(t) = \cfrac{1}{5}t^{2} + 8t

Derivamos con respecto a t:

v_{1}(t) = \cfrac{2}{5}t + 8

Una vez que ya tenemos la derivada de la función de distancia del atleta 1, procedemos a sustituir t con 0 ya que queremos saber cuál es la velocidad que tiene a la salida, o sea en el tiempo cero:

v_{1}(0) = \cfrac{2}{5}(0) + 8 =  8 \ m/s

Analicemos al atleta 2:

La función de distancia del atleta 2 es:

s_{2}(t) = \cfrac{1100t}{(t  + 100)}

Para derivar utilizaremos la fórmula de la derivada de una fracción que es la siguiente:

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{a}{b} \right) = \cfrac{b\cdot a' - a \cdot b'}{b^{2}}

Derivando la función de posición del atleta 2 obtenemos la velocidad:

v_{2}(t) = \cfrac{(t+100)(1100t)' - 1100(t+100)'}{(t+100)^{2}}

La derivada de 1100t es igual a 1100 y la derivada de t+100 se puede dividir en una suma de derivadas y tendremos que la derivada de t es igual a 1 y la derivada de 100 igual a cero:

v_{2}(t) = \cfrac{1100(t+100) - 1100t}{(t+100)^{2}}

Simplificaremos haciendo las operaciones necesarias en el numerador, tendremos:

v_{2}(t) = \cfrac{110000}{(t+100)^{2}}

Ahora hay que sustituir la t con el valor de cero ya que lo que se quiere saber es la velocidad que tiene a la salida, o sea en el tiempo cero:

v_{2}(0) = \cfrac{110000}{(0 + 100)^{2}} = 11 \ m/s

Lo que se puede observar es que el atleta más rápido en la salida es el atleta 2, ¡wow!

  • El que gana la carrera

Lo que se tiene que hacer para saber quién es el que gana es obviamente saber quién tarda menos tiempo en recorrer los 100 metros planos, para eso tenemos que igualar nuestras funciones de distancia a 100.

Analicemos al atleta 1:

La función de distancia del atleta 1 es:

s_{1}(t) = \cfrac{1}{5} t^{2} + 8t

Así que ahora sustituimos la distancia de los 100 metros:

100 = \cfrac{1}{5} t^{2} + 8t

Ahora lo único que hay que hacer es obtener las raíces de la igualdad. Vamos a multiplicar por 5 para eliminar el denominador de la fracción de \frac{1}{5}:

500 = t^{2} + 40t

Pasamos restando el 500:

t^{2} + 40t - 500 = 0

Para hallar las raíces podemos utilizar la fórmula cuadrática, primero recordemos la fórmula:

x = \cfrac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

Sustituyendo valores tenemos:

t = \cfrac{-40 \pm \sqrt{40^{2} - 4(1)(-500)}}{2(1)}

Resolviendo tenemos las siguientes raíces:

t_{1} = -50 \ seg \qquad t_{2} = 10 \ seg

Como no podemos considerar que el atleta se tarda menos 50 segundos, entonces tomamos el valor de los 10 segundos significando que el atleta 1 tarda 10 segundos en recorrer la pista de 100 metros.

Analicemos al atleta 2:

La función de distancia del atleta 2 es la siguiente:

s_{2}(t) = \cfrac{1100t}{(t+100)}

Ahora sustituimos la distancia de la pista que son los 100 metros:

100 = \cfrac{1100t}{(t+100)}

Eliminamos los ceros que tienen el 100 y el 1100:

1 = \cfrac{11t}{(t+100)}

Y fácilmente podemos pasar multiplicando el (t+100) al 1:

t + 100 = 11t

Restamos 11t- t para obtener 10t:

100 = 10 t

Y dividimos 100 entre el 10 para obtener lo siguiente:

10  seg = t

Lo que se puede apreciar es que ambos atletas llegan al mismo tiempo a la meta, ¡eso quiere decir que tenemos un empate!

  • El más rápido en cruzar la meta

Para calcular quién es el más rápido sólo se tiene que tomar las derivadas de las funciones de distancia y sustituimos el tiempo que se tardan en llegar a la meta.

Analicemos al atleta 1:

Tomemos la derivada de la función de distancia del atleta 1:

v_{1}(t) = \cfrac{1}{5}(t) + 8

Sustituyamos el t por 10 segundos:

v_{1}(10) = \cfrac{2}{5}(10) + 8

Resolvamos para obtener lo siguiente:

v_{1}(10) = 12 m/s

Analicemos al atleta 2:

Tomemos la derivada de la función de distancia del atleta 2:

v_{2}(t) = \cfrac{1100t}{(t+100)^{2}}

Ahora sólo sustituyamos t por 10:

v_{2}(10) = \cfrac{1100(10)}{(10 + 100)^{2}}

Resolvamos para obtener lo siguiente:

v_{2}(10) = \cfrac{100}{11} \ m/s = 9\text{.}090 \ m/s

¡Así que el atleta que cruza la meta más rápido es el atleta 1!

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

Configurar