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Problemas de optimización | Ejercicio 5

El enunciado del ejercicio de optimización de cálculo es el siguiente:

Determinar el área del rectángulo más grande que puede ser inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

Grafiquemos el rectángulo y la circunferencia que nos menciona el enunciado:

optimizacion ejercicio resuelto bien explicado

Genial, para continuar con este ejercicio, vamos a escribir la ecuación del área del rectángulo:

$$A = xy$$

Ahora utilizaremos la ecuación del teorema de Pitágoras, con el cual nuestro valor de $c$ será el diámetro de la circunferencia, dando como resultado lo siguiente:

$$x^{2} + y^{2} = 10^{2} = 100$$

Como se quiere determinar el área más grande del rectángulo, se tiene que derivar el área del rectángulo, pero no es conveniente hacerlo debido a que la ecuación del área del rectángulo tiene la incógnita $y$. Así que lo que se tiene que hacer es tomar la ecuación que realizamos con el teorema de Pitágoras y despejar el término $y$, veamos:

$$x^{2} + y^{2} = 100$$

Pasamos restando el $x^{2}$:

$$y^{2} = 100 – x^{2}$$

Ahora aplicamos raíz cuadrada a toda la ecuación para eliminar el cuadrado de la $y$:

$$y = \sqrt{100 – x^{2}}$$

Una vez que ya tenemos la $y$ solita, la sustituiremos en la ecuación del área del rectángulo:

$$A = xy$$

$$A = x\sqrt{100 – x^{2}}$$

Y ahora sí podemos empezar a derivar, lo que se observa es que tenemos una multiplicación, así que lo que se tiene que hacer es aplicar la fórmula de la derivada de una multiplicación, de cualquier forma aquí recordamos la sencilla fórmula:

$$(ab)’ = ab’ + ba’$$

Ahora sí, empecemos a derivar:

$$A’ = \left(x\sqrt{100 – x^{2}}\right)’$$

$$A’ = x\left( \sqrt{100 – x^{2}}\right)’ + \sqrt{100 – x^{2}}(x)’$$

Utilizando el álgebra podemos representar a ese $\sqrt{100 – x^{2}}$ como $\left( 100 – x^{2}\right)^{1/2}$ para hacer la derivada más sencilla y de una vez podemos derivar a $x$ que es igual a $1$:

$$A’ = x\left( \left( 100 – x^{2}\right)^{1/2} \right)’+ \sqrt{100 – x^{2}}(1)$$

Aplicaremos la regla de la cadena:

$$A’  = x\cfrac{1}{2}\left(100 – x^{2} \right)^{-1/2}(100 – x^{2})’ + \sqrt{100 – x^{2}}$$

Y ahora sólo falta derivar un sólo paréntesis, recuerda que ese paréntesis lo podemos dividir como una suma de derivadas, entonces la derivada de $100$ es igual a cero y la derivada de $-x^{2}$ es igual a $-2x$:

$$A’ = x \cfrac{1}{2} \left(100 – x^{2} \right)^{-1/2}(-2x) + \sqrt{100 – x^{2}}$$

Ahora que todo ya está derivado, sólo hace falta aplicar un poco de álgebra para simplificar lo más que se pueda:

$$\require{cancel} A’ = x \cfrac{1}{\cancel{2}} \ \cfrac{1}{(100 – x^{2})^{1/2}}(-\cancel{2}x) + \sqrt{100 – x^{2}}$$

$$A’ = \cfrac{-x^{2}}{\sqrt{100 – x^{2}}}+ \sqrt{100 – x^{2}}$$

Vamos a igualar a cero para hallar si hay un máximo en la derivada, porque lo que se quiere es obtener una mayor cantidad de área:

$$\cfrac{-x^{2}}{\sqrt{100 – x^{2}}}+ \sqrt{100 – x^{2}} = 0$$

$$\cfrac{x^{2}}{\sqrt{100 – x^{2}}} = \sqrt{100 – x^{2}}$$

Pasamos multiplicando para eliminar las raíces cuadradas:

$$x^{2} = 100 – x^{2}$$

Ahora pasamos sumando el $-x^{2}$

$$2x^{2} = 100$$

Pasamos dividiendo el $2$

$$x^{2} = \cfrac{100}{2}$$

Y utilizando una calculadora, sacamos de una vez raíz cuadrada a la ecuación:

$$x = \pm 5\sqrt{2}$$

Excelente, ahora vamos a ver en dónde hay un máximo, recordemos que los valores de prueba se tienen que evaluar en la ecuación de la primera derivada:

$$\begin{array}{| c | c | c | c |}
\hline
\text{Intervalo} & \text{Valor prueba} & \text{Signo del resultado} & \text{Conclusión} \\
\hline
\left(-\infty,-5\sqrt{2}\right) & -8 & – & \text{decrece} \\
\left(-5\sqrt{2},5\sqrt{2}\right) & 0 & + & \text{crece} \\
\left(5\sqrt{2} ,\infty\right) & 8 & – & \text{decrece} \\
\hline
\end{array}$$

Observa que en el segundo intervalo crece y luego en el tercer intervalo decrece, quiere decir que ese punto es un máximo, así que el valor de $x$ para que sea el mayor es:

$$x = 5\sqrt{2}$$

Ahora sólo falta calcular el valor de $y$, lo cual se puede calcular utilizando la ecuación cuando tenemos a la $y$ despejada y el valor de $x$ ya calculado lo sustituiremos:

$$y = \sqrt{100 – x^{2}}$$

$$y = \sqrt{100 -\left( 5\sqrt{2} \right)^{2} }$$

$$y = \sqrt{100 – \left( 25(2) \right)}$$

$$y = \sqrt{100 – 50}$$

$$y = \sqrt{50}$$

Utilizando una calculadora, se llega al siguiente resultado:

$$y = 5\sqrt{2}$$

Así que los valores de $x$ y $y$ para que los lados del rectángulo tengan el área más grande inscrita en una circunferencia de un radio de 5 cm son:

$$x=5\sqrt{2} \qquad y = 5\sqrt{2}$$

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