Skip to content
RBJLabs ®

Problemas de optimización | Ejercicio 4

Se quiere construir una cisterna en forma de un prisma rectangular de base cuadrada que contenga una capacidad de $15 \ m^{3}$. Si por las caras laterales y por la base se paga 10 dólares por $m^{2}$ y por la parte superior se paga el doble por $m^{2}$, determina las dimensiones que debe de tener la cisterna para que el costo sea mínimo.

Para este problema de optimización de cálculo veremos a continuación una representación de la cisterna

ejercicio de optimizacion resuelto

Vamos a escribir la función que utilizaremos para el cálculo del costo mínimo. El costo es igual a la suma de algo que es lo que se planteará ahora. El costo de la base es igual al área de la base por el precio que será: $10x^{2}$; más el costo de cada lado de la cisterna que es el área de cada lado multiplicado por 4 multiplicado por el precio: $4\cdot 10 xy = 40xy$; más el costo de la tapa que tiene un área igual que la base pero el precio es el doble, en vez de escribir $10x^{2}$, escribiremos $20x^{2}$. Con todo esto podemos escribir la siguiente función:

$$C(x) = 10x^{2} + 40xy + 20x^{2}$$

Reducimos términos:

$$C(x) = 30x^{2} + 40xy$$

Bien, pero no podemos derivar así porque sí, hace falta una ecuación más, la otra ecuación que hace falta es la del volumen:

$$V = 15 \ m^{3}$$

Pero el volumen igual se puede representar de la siguiente forma:

$$V = x^{2} \cdot y$$

Mira esta magia, vamos a igualar las ecuaciones del volumen que acabamos de plantear:

$$x^{2} \cdot y = 15 \ m^{3}$$

Y dejamos a solas a la $y$:

$$y =\cfrac{15}{x^{2}}$$

Con la ecuación recientemente obtenida, sustituiremos a la $y$ en la función del costo:

$$C = 30x^{3} + 40x\left( \cfrac{15}{x^{2}}\right)$$

Multiplicamos:

$$C = 30x^{2} + \cfrac{600}{x}$$

Vamos a derivar la ecuación de optimización

$$C'(x) = 2\cdot 30 x + (600x^{-1})’$$

$$C'(x) = 60x +(-1)(600x^{-2})$$

$$C'(x) = 60x – (600x^{-2})$$

$$C'(x) = 60x – \cfrac{600}{x^{2}}$$

Ya que tenemos la primera derivada, vamos a igualar a cero y luego vamos a evaluar para obtener en donde es creciente y decreciente para saber si tiene mínimo:

$$0 = 60x – \cfrac{600}{x^{2}}=x\left( 60 – \cfrac{600}{x^{3}}\right)$$

Una $x$ se hace cero, sólo falta calcular la otra:

$$60 = \cfrac{600}{x^{3}}$$

$$x^{3} = \cfrac{600}{60}=10$$

$$x = \sqrt[3]{10}\approx 2.15$$

Ahora hay que evaluar el valor prueba en la ecuación de la primera derivada para saber en dónde hay mínimo y en dónde hay máximo, veamos la siguiente tabla:

$$\begin{array}{c | c | c | c}
\text{Intervalo}& \text{Valor Prueba} & \text{Signo Resultado} & \text{Conclusión} \\
\hline
(-\infty, 0) & -1 & – & \text{Decreciente} \\
(0,\sqrt[3]{10}) & 1 & – & \text{Decreciente} \\
(\sqrt[3]{10}, \infty) & 3 & + &\text{Creciente} \\
\end{array}$$

Lo que se puede observar, es que hay un mínimo cuando $x = \sqrt[3]{10}$ porque va de decreciente a creciente.

Listo, eso es todo, una vez con nuestro mínimo ya hallado, hay que hallar el valor de $y$, agarramos la ecuación $y = \frac{15}{x^{2}}$ y sustituimos $x$ por $\sqrt[3]{10}$:

$$y = \cfrac{15}{\left( \sqrt[3]{10}\right)^{2}} \approx 3.23$$

Así que las dimensiones que debe de tener son de $x = \sqrt[3]{10}\approx 2.15 \ m$ y $y \approx 3.23 \ m$.

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *