Comencemos primero con la fórmula de la longitud de arco y después veremos un ejercicio sencillo.
Fórmula de longitud de arco
$$L = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + \left[ f'(x)\right]^{2}} \ dx$$
Ahora que ya tenemos la poderosa fórmula para calcular la longitud de arco, vamos con un ejemplo.
Ejemplo de longitud de arco
Calcular la longitud de arco de $y=x^{2}$ desde $x=0$ hasta $x=1$.
La derivada de $f(x)=x^{2}$ es $f'(x) = 2x$, así que sustituyamos en la fórmula de la longitud de arco la derivada y los límites.
$$L = \int_{0}^{1}\sqrt{1 + \left[ 2x \right]^{2}} \ dx$$
$$L = \int_{0}^{1}\sqrt{1 + 4x^{2}} \ dx$$
Para poder resolver este ejercicio utilizaremos trigonometría, vamos a ayudarnos del siguiente triángulo:
Con el cual plantearemos las siguientes ecuaciones para poder dejar en términos trigonométricos la integral:
$$\tan \theta = 2x$$
$$\sec \theta = \sqrt{1 + 4x^{2}}$$
Derivamos $\tan \theta$ para obtener:
$$\sec^{2}\theta \ d \theta = 2 \ dx$$
Ahora despejamos el $2$ para dejar a la $dx$ sola:
$$\cfrac{\sec^{2} \theta}{2} \ d \theta = dx$$
Una vez que ya tengamos las ecuaciones anteriores, sustituyamos en la integral de la longitud de arco de nuestro ejercicio:
$$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}} \ dx \Rightarrow$$
$$L = \int_{0}^{1} \sec \theta \ \cfrac{\sec^{2} \theta}{2} \ d\theta$$
Multiplicaremos los secantes para obtener un secante al cubo y por propiedades de las integrales podemos sacar el 2 del denominador
$$L = \cfrac{1}{2} \int_{0}^{1}\sec^{3} \theta \ d \theta$$
Consultando la integral de secante al cubo, obtendremos lo siguiente:
$$= \left. \cfrac{1}{4}\sec \theta \tan \theta + \cfrac{1}{4} \ln \left| \sec \theta + \tan \theta \right| \right]_{0}^{1}$$
Ahora, sustituyendo de vuelta a los valores de $x$, recuerda que $\tan \theta = 2x$ y $\sec \theta = \sqrt{1+ 4x^{2}}$, obtendremos:
$$= \cfrac{1}{4} \left[ 2x \sqrt{1 + 4x^{2}} + \ln \left| \sqrt{1 + 4x^{2}} + 2x\right|\right]_{0}^{1}$$
Ahora sí, evaluando los límites obtendremos lo siguiente:
$$= \cfrac{1}{4} \left[\left( 2\sqrt{5} + \ln\left| 2 + \sqrt{5}\right|\right) – \left(0 \right) \right]$$
Finalmente obtenemos un resultado de:
$$L = \cfrac{2\sqrt{5} + \ln\left| 2 + \sqrt{5}\right|}{4}$$
Así que nuestra longitud de arco es:
$$L = \cfrac{2\sqrt{5} + \ln\left| 2 + \sqrt{5}\right|}{4}\approx 1.48 \ u$$
La $u$ significa unidades.
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