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Longitud de arco | Ejemplo 2

Hallar la longitud de arco de $x = 3y^{3/2} + 1$ desde $y=0$ hasta $y = 4$.

Primero grafiquemos la función para tenerla más claramente:

longitud-de-arco-ejemplo-3-4Ahora podemos proceder con la derivada de la función:

$$x = 3y^{3/2} + 1$$

$$x’ = \cfrac{9}{2} y^{1/2}$$

Genial, con la derivada ya hecha, podemos sustituir en la fórmula de longitud de arco:

$$L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \left[\cfrac{9y^{1/2}}{2} \right]^{2}} \ dy$$

Elevamos al cuadrado la fracción y sumamos:

$$= \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \cfrac{81}{4} y}\ dy$$

$$= \int_{0}^{4} \sqrt{\cfrac{4 + 81y}{4}}\ dy$$

Sacaremos raíz cuadrada al denominador $4$ y lo sacaremos de la integral:

$$=\int_{0}^{4} \cfrac{\sqrt{4 + 81y}}{2} dy= \cfrac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{4 + 81y} \ dy$$

Para resolver esa integral lo que haremos es sustituir $4 + 81y$ con la letra $u$ y luego la derivaremos:

$$u = 4 + 81y$$

$$du = 81dy\quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{81} = dy$$

Ahora procedamos a sustituir en la integral:

$$=\cfrac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{u} \cfrac{du}{81}$$

$$=\cfrac{1}{162} \int_{0}^{4} \sqrt{u} \ du$$

Procedemos a realizar la integral, para que se haga más fácil tomaremos la raíz cuadrada como exponente a la un medio:

$$=\cfrac{1}{162} \int_{0}^{4} u^{1/2} \ du$$

$$= \left. \cfrac{1}{162} \cdot \cfrac{2u^{3/2}}{3}\right]_{0}^{4}$$

Efectuamos las multiplicaciones y divisiones correspondientes:

$$= \left. \cfrac{u^{3/2}}{243} \right]_{0}^{4}$$

Ahora hay que sustituir de vuelta la $u$, recuerda que $u = 4 + 81y$:

$$L = \left. \cfrac{\left(4 + 81y \right)^{3/2}}{243} \right]_{0}^{4}$$

Evaluamos:

$$L = \left[ \left( \cfrac{\left( 328\right)^{3/2}}{243} \right) – \left( \cfrac{8}{243} \right)\right]$$

$$=\cfrac{8\left(82 \right)^{3/2} – 8}{243}$$

En la fracción podemos factorizar el 8 y de igual forma podemos sacar el denominador:

$$\cfrac{8}{243} \left( 82^{3/2} – 1\right) \ \text{u}$$

La $\text{u}$ significa unidades.

¡Así que finalmente ya tenemos nuestro resultado de la longitud de arco de este ejemplo!

$$L = \cfrac{8}{243} \left( 82^{3/2} – 1\right) \ \text{u}\approx 24.41$$

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