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Longitud de arco | Ejemplo 2

Hallar la longitud de arco de x = 3y^{3/2} + 1 desde y=0 hasta y = 4.

Primero grafiquemos la función para tenerla más claramente:

longitud-de-arco-ejemplo-3-4Ahora podemos proceder con la derivada de la función:

x = 3y^{3/2} + 1

x' = \cfrac{9}{2} y^{1/2}

Genial, con la derivada ya hecha, podemos sustituir en la fórmula de longitud de arco:

\displaystyle L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \left[\cfrac{9y^{1/2}}{2} \right]^{2}} \ dy

Elevamos al cuadrado la fracción y sumamos:

\displaystyle = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \cfrac{81}{4} y}\ dy

\displaystyle = \int_{0}^{4} \sqrt{\cfrac{4 + 81y}{4}}\ dy

Sacaremos raíz cuadrada al denominador 4 y lo sacaremos de la integral:

\displaystyle =\int_{0}^{4} \cfrac{\sqrt{4 + 81y}}{2} dy= \cfrac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{4 + 81y} \ dy

Para resolver esa integral lo que haremos es sustituir 4 + 81y con la letra u y luego la derivaremos:

u = 4 + 81y

du = 81dy\quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{81} = dy

Ahora procedamos a sustituir en la integral:

\displaystyle =\cfrac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{u} \cfrac{du}{81}

\displaystyle =\cfrac{1}{162} \int_{0}^{4} \sqrt{u} \ du

Procedemos a realizar la integral, para que se haga más fácil tomaremos la raíz cuadrada como exponente a la un medio:

\displaystyle =\cfrac{1}{162} \int_{0}^{4} u^{1/2} \ du

= \left. \cfrac{1}{162} \cdot \cfrac{2u^{3/2}}{3}\right]_{0}^{4}

Efectuamos las multiplicaciones y divisiones correspondientes:

= \left. \cfrac{u^{3/2}}{243} \right]_{0}^{4}

Ahora hay que sustituir de vuelta la u, recuerda que u = 4 + 81y:

L = \left. \cfrac{\left(4 + 81y \right)^{3/2}}{243} \right]_{0}^{4}

Evaluamos:

L = \left[ \left( \cfrac{\left( 328\right)^{3/2}}{243} \right) - \left( \cfrac{8}{243} \right)\right]

=\cfrac{8\left(82 \right)^{3/2} - 8}{243}

En la fracción podemos factorizar el 8 y de igual forma podemos sacar el denominador:

\cfrac{8}{243} \left( 82^{3/2} - 1\right) \ \text{u}

La \text{u} significa unidades.

¡Así que finalmente ya tenemos nuestro resultado de la longitud de arco de este ejemplo!

L = \cfrac{8}{243} \left( 82^{3/2} - 1\right) \ \text{u}\approx 24.41

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