Skip to content
RBJLabs

Longitud de arco | Ejemplo 1

Calcular la longitud de arco de $24xy = x^{4}+48$ desde $x=2$ hasta $x=4$.

Para resolver este ejercicio, vamos a dejar sola la $y$ para poder proceder con al derivada, así que  tenemos que pasar dividiendo el $24x$ para obtener:

$$y = \cfrac{x^{4} + 48}{24x}$$

Ahora, es recomendable graficar la función para tener más clara la longitud a calcular, así que la gráfica se verá de la siguiente forma:

longitud-de-arco-ejemplo-2Dividamos la fracción de una suma en una suma de fracciones y simplifiquemos:

$$y = \cfrac{x^{4}}{24x} + \cfrac{48}{24x}$$

$$y = \cfrac{x^{3}}{24} + \cfrac{2}{x}$$

Ahora procedamos con la derivada. La derivada de $\frac{x^{3}}{24}$ es igual a $\frac{x^{2}}{8}$ y la derivada de $\frac{2}{x}$ es igual a $-\frac{2}{x^{2}}$:

$$y’ = \cfrac{x^{2}}{8} – \cfrac{2}{x^{2}} = \cfrac{x^{4} – 16}{8x^{2}}$$

Ahora podemos utilizar la fórmula de la longitud de arco para hallar dicha longitud, recuerda que los límites son de $2$ a $4$:

$$L = \int_{2}^{4}\sqrt{1 + \left[ \cfrac{x^{4} – 16}{8x^{2}} \right]^{2}} \ dx$$

Elevando al cuadrado, obtendremos:

$$=\int_{2}^{4}\sqrt{1 + \cfrac{x^{8} – 32x^{4} + 256}{64x^{4}}}$$

Realicemos la suma de fracciones (porque el $1$ tiene denominador $1$) y simplifiquemos:

$$=\int_{2}^{4}\sqrt{\cfrac{64x^{4} + x^{8} – 32x^{4} + 256}{64x^{4}}}$$

$$=\int_{2}^{4}\sqrt{\cfrac{x^{8} + 32x^{4} + 256}{64x^{4}}}$$

Factorizamos:

$$=\int_{2}^{4}\sqrt{\cfrac{\left( x^{4} + 16\right)^{2}}{64x^{4}}}$$

Y sacaremos raíz cuadrada:

$$=\int_{2}^{4}\cfrac{x^{4} + 16}{8x^{2}}$$

Ahora, por propiedades de las integrales, sacaremos el denominador $8$ y luego separaremos la integral de una suma en una suma de integrales:

$$=\cfrac{1}{8}\int_{2}^{4} \cfrac{x^{4} + 16}{x^{2}}$$

$$=\cfrac{1}{8} \int_{2}^{4} x^{2} \ dx + 2 \int_{2}^{4} \cfrac{dx}{x^{2}}$$

Integremos, la integral de $x^{2}$ es igual a $\frac{x^{3}}{3}$ y la integral de $\frac{1}{x^{2}}$ es igual a $-\frac{1}{x}$:

$$=\left. \cfrac{x^{3}}{24} – \cfrac{2}{x} \right]_{2}^{4}$$

Evaluando:

$$=\left( \cfrac{8}{3} – \cfrac{1}{2} \right) – \left(\cfrac{1}{3} – 1 \right)$$

Resolviendo las operaciones, obtendremos:

$$ = \cfrac{17}{6} \ \text{u}$$

La $\text{u}$ significa unidades.

¡Así obtenemos nuestro resultado final de longitud de arco!

$$L = \cfrac{17}{6} \ \text{u} \approx 2.83 \ \text{u}$$

 

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *