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Longitud de arco de un cardioide

Fórmula para hallar la longitud de arco

$$S = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \cfrac{d\rho}{d\theta}\right)^{2} + \rho^{2}} \ d \theta$$

Ejemplo. Calculemos la longitud de arco de un cardioide

El cardioide al cual vamos a hallar su longitud de arco es $\rho = 2(1 + \cos \theta)$, gráficamente se ve así:

longitud de arco de un cardioide
$\rho = 2(1 + \cos \theta)$

Como dice en la fórmula, necesitamos calcular la derivada de $\rho$. Para hacerlo, vamos a multiplicar el 2 con el paréntesis:

$$\rho = 2 + 2 \cos \theta$$

Y ahora sí procedemos a derivar, derivada de una constante es igual a cero y derivada de coseno es igual a menos seno:

$$\rho ‘ = 0 – 2\sin \theta$$

$$\rho ‘ = -2 \sin \theta$$

Lo que hay que hacer es sustituir en la integral los valores de la derivada y del cuadrado de $\rho$:

$$S = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(-2\sin \theta)^{2} + (2(1 + \cos \theta))^{2}} \ d\theta$$

Una vez que ya tengamos nuestra integral para resolver, podemos comprobar la respuesta para saber que todo el procedimiento que hicimos es correcto. Una calculadora que recomendamos es la Casio FX-991EX, sólo que recuerda que cuando la utilices tienes que ponerla en radianes y el límite va de cero a $\pi$ en caso de que multipliques por 2 el resultado, y en caso de que no lo multipliques por dos pones los límites de cero a $2\pi$.

¿Y nuestros límites de los ángulos en radianes $\alpha$ y $\beta$ cuáles son?

Hay dos opciones de colocar los límites en la integral. La primera opción es colocar los límites de cero a $\pi$, que el resultado sólo nos dará la mitad del valor de la longitud completa, lo que quiere decir que hay que multiplicar por 2 el resultado. La segunda opción es colocar los límites de cero a $2\pi$, que representa que vas a dar de una vez toda la vuelta al cardioide. Con las dos opciones se llega al mismo resultado, continuemos:

Colocaremos un 2 a la integral porque sólo vamos a integrar de cero a $\pi$ y elevamos al cuadrado para obtener:

$$S = 2\int_{0}^{\pi}\sqrt{4\sin^{2}\theta + 4(1 + 2 \cos \theta + \cos^{2} \theta)} \ d\theta$$

Multipliquemos el paréntesis donde está el 4:

$$S = 2\int_{0}^{\pi}\sqrt{4\sin^{2} \theta + 4 + 8 \cos \theta + 4 \cos^{2} \theta} \ d \theta$$

Vamos a ordenar el término $4\sin^{2} \theta$ y el término $4\cos^{2} \theta$ y factorizaremos el 4:

$$S = 2\int_{0}^{\pi}\sqrt{4(\sin^{2}\theta + \cos^{2} \theta) + 4 + 8 \cos \theta} \ d \theta$$

Recordemos una identidad trigonométrica muy poderosa:

$$\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$$

Con la identidad trigonométrica, reduzcamos términos:

$$S = 2\int_{0}^{\pi}\sqrt{4 + 4 + 8\cos \theta} \ d \theta$$

Sumemos los 4:

$$S = 2\int_{0}^{\pi}\sqrt{8 + 8\cos \theta} \ d \theta$$

Vamos a factorizar el 8:

$$S = 2\int_{0}^{\pi}\sqrt{8(1 + \cos \theta)} \ d \theta$$

Y ese 8 lo podemos representar como $2^{2}\cdot 2$:

$$S = 2 \int_{0}^{\pi}\sqrt{2^{2}\cdot 2(1 + \cos \theta)} \ d \theta$$

Ese $2^{2}\cdot 2$ lo podemos sacar de la raíz cuadrada para después, por propiedades de integrales, sacarlo de la integral:

$$S = 2 \int_{0}^{\pi} \left(2\sqrt{2} \right) \sqrt{1 + \cos \theta} \ d \theta$$

$$S = 2\left( 2\sqrt{2}\right)\int_{0}^{\pi}\sqrt{1 + \cos \theta} \  d\theta$$

Multipliquemos términos:

$$S = 4\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}\sqrt{1 + \cos \theta} \ d \theta$$

Bueno, ¿y eso cómo se integra?

Tranquilo, eso se integra fácilmente utilizando la siguiente identidad trigonométrica:

$$\cos^{2}\left(\cfrac{\theta}{2}\right) = \cfrac{1+\cos \theta}{2}$$

Esa identidad trigonométrica le aplicaremos raíz cuadrada para obtener:

$$\cos \left( \cfrac{\theta}{2}\right) = \cfrac{\sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{2}}$$

Ahora a la integral a la que llegamos le vamos a multiplicar y a dividir una $\sqrt{2}$ para que sea igual a la identidad trigonométrica:

$$S = 4\sqrt{2}  \int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\cfrac{\sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{2}} \ d \theta$$

Por propiedades de integrales, sacaremos el $\sqrt{2}$ de la integral que se encuentra como numerador:

$$S = 4 \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}\cfrac{\sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{2}} \ d \theta$$

¡Ahora nuestra integral se parece a lo que hicimos en la identidad trigonométrica! Sólo sustituyamos lo que está en la integral por $\cos \left( \frac{\theta}{2}\right)$ y multipliquemos de una vez a las dos raíces cuadradas de dos y al cuatro:

$$S = 8\int_{0}^{\pi}\cos \left( \cfrac{\theta}{2} \right) \ d \theta$$

Para resolver esa integral, llamaremos $u$ a $\frac{\theta}{2}$, derivaremos y despejaremos:

$$u = \cfrac{\theta}{2}$$

$$du = \cfrac{d\theta}{2}$$

$$2 \ du = d \theta$$

Sustituyamos esos términos en la integral:

$$S = 8 \int_{0}^{\pi} \cos (u ) (2 \ du)$$

Apliquemos propiedades de integrales para sacar el dos y multipliquémoslo con el 8:

$$S = 16  \int_{0}^{\pi}\cos(u) \ du$$

Recordemos que la integral de coseno es igual a seno, así que integremos:

$$S = 16  \left. \sin(u)\right|_{0}^{\pi}$$

Regresemos el $\frac{\theta}{2}$:

$$S = 16 \left. \sin\left( \cfrac{\theta}{2} \right) \right|_{0}^{\pi}$$

Utilizando una calculadora en radianes, evaluemos el seno:

$$S = 16 \left( 1 -0\right)$$

Y finalmente nuestro resultado de la longitud de arco del cardioide es:

$$S = 16 \ \text{u}$$

La u del resultado final significa “unidades”, o sea la longitud es de 16 unidades.

Mira el siguiente video del post

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