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Integral de tangente

La fórmula de integral de tan es:

\displaystyle \int \tan u \cdot du = \ln |\sec u| = -\log \cos u

De tantas integrales trigonométricas, a continuación veremos unos ejemplos para integrales de tangente.

Ejemplo 1. Integral de tan 2x

\displaystyle \displaystyle \int \tan(2x) \ dx=

Sustituimos el 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:

u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \ dx \quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{2} = dx

Y reemplazamos los términos por u:

\displaystyle \int \tan(u) \cfrac{du}{2}

Por propiedades de integrales sacamos el \frac{1}{2} de la integral:

\displaystyle \cfrac{1}{2}\int\tan(u) \ du

Ahora aplicamos directamente la fórmula de la integral de tangente:

\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \tan (u) \ du = \left (\cfrac{1}{2}\right)(-\log \cos(u))

Y por último sustituimos de vuelta la u por 2x y la respuesta sería:

-\cfrac{1}{2}\log[\cos(2x)]

Ejemplo 2. Integral de tangente cuadrado

\displaystyle \int \tan^{2}(x) \ dx

La manera más rápida de hacer esta integral es revisar formulazo en el formulario de integrales y listo. Otra manera es desmenuzar un poco la integral y revisar de todas maneras el formulario de integrales en algún punto, comencemos:

Para comenzar con la resolución de esta integral, lo primero que tenemos que hacer es aplicar la identidad trigonométrica siguiente:

\tan^{2}x + 1 = \sec^{2}x

Ahora lo que se tiene que hacer es despejar \tan^{2}x:

\tan^{2}x = \sec^{2}x  - 1

Sustituyendo \tan^{2}x en la integral, obtendríamos la integral de una resta:

\displaystyle \int\left ( \sec^{2}x  - 1 \right) \ dx

Separemos la integral a una suma de integrales:

\displaystyle \int \sec^{2}x \ dx + \int - 1 \ dx

Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el -1 de la integral:

\displaystyle \int \sec^{2}x \ dx - 1 \int \ dx

Para resolver la primera integral, revisaremos el formulario de integrales que nos muestra un formulazo de integral de \sec^{2}x, por lo tanto, la primera integral quedaría de la siguiente manera:

\displaystyle \int\sec^{2}x \ dx- \int \ dx = \tan x - \int \ dx

Resolviendo la segunda integral, la respuesta sería la siguiente:

\tan x - x

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