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Integral de secante

La fórmula de integral de sec es:

\displaystyle \int \sec u \cdot du = \log \left(\sec u + \tan u\right)

De tantas integrales trigonométricas, a continuación veremos unos ejemplos para la integral de la secante:

Ejemplo 1. Integral de la secante de x

\displaystyle \int \sec x \ dx

La integral de secante se puede deducir si sabes algunas fórmulas de derivación, en seguida vamos a ver la manera de cómo llegar al resultado de \log \left( \sec x + \tan x \right) con las fórmulas de las derivadas. ¡Empecemos!

Para empezar con esta integral, hay un truco muy poderoso que nos permite resolverla, vamos a multiplicar el \sec x por una fracción que contiene \sec x + \tan x en el denominador y en el numerador.

\displaystyle \int \sec x \cfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x} dx

Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:

\displaystyle \int \cfrac{\sec^{2}x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx

Seguidamente nombraremos u a \sec x + \tan x y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \sec x es igual a \sec x \tan x y la derivada de \tan x es igual a \sec^{2} x:

u = \sec x + \tan x

du = \left(\sec x \tan x + \sec^{2} x\right) dx

Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:

\displaystyle \int \cfrac{1}{u} \ du

Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:

\displaystyle \int \cfrac{1}{u} \ du = \log (u)

Finalmente sustituimos el u para obtener nuestro resultado final:

\log\left(\sec x + \tan x \right)

Ejemplo 2. Integral de secante de 2x

\displaystyle \int \sec (2x) dx

El proceso de resolución es muy parecido al del ejemplo anterior, vamos a empezar.

Comencemos reemplazando 2x por v, luego derivamos y despejamos:

dv = 2 \ dx

\cfrac{dv}{2} =  dx

Sustituimos en la integral 2x por v y dx por \frac{dv}{2}:

\displaystyle \int \sec v  \cfrac{dv}{2}

Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el denominador 2 de la integral:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \sec v  \ dv

A partir de aquí podemos olvidarnos del \frac{1}{2} (obvio no nos vamos a olvidar del \frac{1}{2}) y hacer la integración directamente con formulazo o aplicar todo el procedimiento ya explicado en el ejemplo anterior.

Vamos a multiplicar el \sec v por una fracción que contiene \sec v + \tan v en el numerador y en el denominador.

\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \sec v \cfrac{\sec v + \tan v}{\sec v + \tan v} dv

Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{\sec^{2}v + \sec v \tan v}{\sec v + \tan v} dv

Seguidamente nombraremos u a \sec v + \tan v y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \sec x es igual a \sec x \tan x y la derivada de \tan x es igual a \sec^{2} x:

u = \sec v + \tan v

du = \left(\sec v \tan v + \sec^{2} v\right) dv

Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du

Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du = \log (u)

Sustituimos el u para obtener:

\cfrac{1}{2} \log\left(\sec v + \tan v \right)

Y finalmente sustituimos v por 2x para obtener nuestro resultado final:

\cfrac{1}{2} \log \left(\sec 2x + \tan 2x\right)

Ejemplo 3. Integral de secante cuadrada

\displaystyle \int \sec^{2}x \ dx

Tal vez a algunos les cause un poco de conflicto la resolución de esta integral, pero sabemos muy bien que las integrales y las derivadas están unidas por un lazo de amistad muy fuerte, lo que quiere decir que si alguien deriva algo y el resultado de ese algo se integra, el resultado va a ser ese algo con el que se empezó. Si alguien deriva x, obtendrá 1, si integra 1, obtendrá x.

La derivada de \tan x es igual a \sec^{2}x \ dx, eso quiere decir que la integral de \sec^{2}x dx es \tan x, así que nuestro resultado final de integral de \sec^{2}x \ dx será:

\tan x

Ejemplo 4. Integral de secante al cubo

\displaystyle \int \sec^{3}(x) dx

Para resolver esta integral, lo que necesitamos es utilizar la fórmula de reducción de secante, así que aplicando la fórmula, obtenemos lo siguiente:

\displaystyle \cfrac{\sin x \sec^{2} x}{2} + \cfrac{1}{2} \int \sec x \ dx

Utilizando las siguientes identidades…

\sec x = \cfrac{1}{\cos x}

\tan x = \cfrac{\sin x}{\cos x}

…llegaremos a nuestra siguiente expresión:

= \cfrac{1}{2} \sec x \tan x + \cfrac{1}{2} \int \sec x \ dx

Aplicando la integral de secante de x, llegaremos a nuestro resultado final:

= \cfrac{1}{2} \sec x \tan x + \cfrac{1}{2} \ln \left| \sec x + \tan x \right|

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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