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Integral de coseno

La fórmula de integral de coseno es:

\int \cos u \cdot du = \sin u

De todas las integrales trigonométricas, veamos unos ejemplos para integrales de coseno.

Ejemplo 1. Integral de cos2x

\int \cos(2x) \ dx=

Sustituimos el 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:

u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \ dx \quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{2} = dx

Y reemplazamos los términos por u:

\displaystyle \int \cos(u) \cfrac{du}{2}

Por propiedades de integrales sacamos el \frac{1}{2} de la integral:

\displaystyle \cfrac{1}{2}\int\cos(u) \ du

Ahora aplicamos directamente la fórmula de la integral de coseno:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cos (u) \ du = \left (\cfrac{1}{2}\right)(\sin(u))

Y por último sustituimos de vuelta la u por 2x y la respuesta sería:

\cfrac{1}{2}\sin(2x)

Ejemplo 2. Integral de coseno cuadrado

\int \cos^{2}(x) \ dx =

La manera más rápida de hacer esta integral es revisar formulazo en el formulario de integrales y listo. Otra manera es la siguiente:

Para la resolución de esta integral, necesitamos acordarnos de la identidad trigonométrica siguiente:

\cos^{2}(x) = \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2} \cos(2x)

Sustituyendo el \cos^{2}(x) por \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2x), tendremos la siguiente integral de una suma:

\displaystyle \int \left( \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2} \cos(2x) \right) dx

Por propiedades de integrales tendremos una suma de integrales

\displaystyle \int \cfrac{1}{2}\ dx + \int \cfrac{1}{2} \cos(2x) \ dx

La primera integral fácilmente la podemos realizar, quedaría de la siguiente forma:

\cfrac{1}{2} x + \int \cfrac{1}{2} \cos(2x) \ dx

Aplicamos propiedades de las integrales para sacar el \frac{1}{2} de la integral:

\cfrac{1}{2}x + \cfrac{1}{2} \int \cos(2x) \ dx

Para resolver la segunda integral, tenemos que hacer unos procedimientos que se hicieron en el ejemplo 1, sustituimos 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:

u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \ dx \quad \Rightarrow \quad \cfrac{du}{2} = dx

Ahora sustituimos por u‘s en la segunda integral con la que estamos trabajando:

\cfrac{1}{2}x + \cfrac{1}{2} \int \cos(u) \cfrac{du}{2}

Sacamos el denominador 2 que está en du:

\cfrac{1}{2}x + \cfrac{1}{2}\cfrac{1}{2} \int \cos(u) \ du

Multiplicamos las fracciones de \frac{1}{2}:

\cfrac{1}{2} x + \cfrac{1}{4} \int \cos(u) \ du

Aplicamos la fórmula de integración de coseno que es la siguiente:

\int \cos(u) \ du =  \sin (u)

A continuación la integración nos quedará de la siguiente manera:

\cfrac{1}{2}x + \cfrac{1}{4} \sin(u)

Y finalmente sustituimos la u por 2x para obtener nuestro resultado:

\cfrac{1}{2}x + \cfrac{1}{4}\sin(2x)

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