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Integral de cosecante

La fórmula de integral de csc es:

\displaystyle \int \csc u \cdot du = -\log\left( \cot u + \csc u\right)

Veamos unos ejemplos para integrales de cosecante:

Ejemplo 1. Integral de csc x

\displaystyle \int \csc x \ dx

La integral de cosecante se puede deducir si sabes algunas fórmulas de derivación, en seguida vamos a ver la manera de cómo llegar al resultado de -\log\left( \cot u + \csc u\right) con las fórmulas de las derivadas. ¡Empecemos!

Para empezar con esta integral, hay un truco muy poderoso que nos permite resolverla, vamos a multiplicar el \csc x por una fracción que contiene \csc x + \cot x en el denominador y en el numerador.

\displaystyle \int \csc x \cfrac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x} dx

Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:

\displaystyle \int \cfrac{\csc^{2}x + \csc x \cot x}{\csc x + \cot x} dx

Seguidamente nombraremos u a \csc x + \cot x y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \csc x es igual a -\csc x \cot x y la derivada de \cot x es igual a -\csc^{2} x:

u = \csc x + \cot x

du = \left(-\csc x \cot x - \csc^{2} x\right) dx

Factorizando el signo negativo, quedaría de la siguiente manera:

du = - \left( \csc x \cot x + \csc^{2} x \right) dx

Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:

\displaystyle \int -\cfrac{1}{u} \ du

Aplicando propiedades de las integrales, sacamos el negativo de la integral:

\displaystyle -\int\cfrac{1}{u} \ du

Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:

\displaystyle -\int \cfrac{1}{u} \ du = -\log (u)

Finalmente sustituimos el u para obtener nuestro resultado final:

-\log\left(\csc x + \cot x\right)

Ejemplo 2. Integral de cosecante de 2x

\displaystyle \int \csc (2x) dx

El proceso de resolución es muy parecido al del ejemplo anterior, vamos a empezar.

Comencemos reemplazando 2x por v, luego derivamos y despejamos:

v = 2x

dv = 2 \ dx

\cfrac{dv}{2} =  dx

Sustituimos en la integral 2x por v y dx por \frac{dv}{2}:

\displaystyle \int \csc v  \cfrac{dv}{2}

Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el denominador 2 de la integral:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \csc v  \ dv

A partir de aquí podemos olvidarnos del \frac{1}{2} (obvio no nos vamos a olvidar del \frac{1}{2}) y hacer la integración directamente con formulazo o aplicar todo el procedimiento ya explicado en el ejemplo anterior.

Vamos a multiplicar el \csc v por una fracción que contiene \csc v + \cot v en el numerador y en el denominador.

\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \csc v \cfrac{\csc v + \cot v}{\csc v + \cot v} dv

Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{\csc^{2}v + \csc v \cot v}{\csc v + \cot v} dv

Seguidamente nombraremos u a \csc v + \cot v y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de \csc x es igual a -\csc x \cot x y la derivada de \cot x es igual a -\csc^{2} x:

u = \csc v + \cot v

du = \left(-\csc v \cot v - \csc^{2} v\right) dv

Factorizaremos el negativo:

du = - \left( \csc v \cot v + \csc^{2} v \right) dv

Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int -\cfrac{1}{u} \ du

Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el negativo de la integral:

\displaystyle -\cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du

Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:

\displaystyle -\cfrac{1}{2} \int \cfrac{1}{u} \ du = -\log (u)

Sustituimos el u para obtener:

-\cfrac{1}{2} \log\left(\csc v + \cot v \right)

Y finalmente sustituimos v por 2x para obtener nuestro resultado final:

-\cfrac{1}{2} \log \left(\csc 2x + \cot 2x\right)

Ejemplo 3. Integral de cosecante cuadrado

\displaystyle \int \csc^{2}x \ dx

Tal vez a algunos les cause un poco de conflicto la resolución de esta integral, pero sabemos muy bien que las integrales y las derivadas están unidas por un lazo de amistad muy fuerte, lo que quiere decir que si alguien deriva algo y el resultado de ese algo se integra, el resultado va a ser ese algo con el que se empezó. Si alguien deriva x, obtendrá 1, si integra 1, obtendrá x.

La derivada de \cot x es igual a -\csc^{2}x \ dx, eso quiere decir que la integral de \csc^{2}x \ dx es -\cot x, así que nuestro resultado final de integral de \csc^{2}x \ dx será:

-\cot x

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