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Integración por fracciones parciales

Este tema de fracciones parciales es de los que requieren de práctica para poder llevarse a cabo de manera satisfactoria. Esto de las fracciones parciales tiene más de álgebra que de cálculo, pero siempre van de la mano ya que hay ecuaciones que no puedes integrar hasta que le hagas un arreglo en el álgebra.

Cómo integrar por fracciones parciales

Las integrales por fracciones parciales son las que veremos con la forma:

\displaystyle \int \cfrac{P(x)}{Q(x)}

En donde el Q(x) puede tener la forma de x, (mx+n)^{u} o (ax^{2}+bx+c)^{v} donde ax^{2}+bx+c es irreducible, no se puede factorizar más. Necesitamos tener bien frescos nuestros productos notables.

  • Para cada factor x se descompone de la siguiente forma:

\cfrac{A_{1}}{x} + \cfrac{A_{2}}{x^{2}} + \dots + \cfrac{A_{u}}{x^{u}}

  • Para cada factor (mx+n)^{u} se descompone exactamente igual que el de arriba, pero siempre surge la duda, lo sabemos. Queda de la siguiente forma:

\cfrac{A_{1}}{mx+n} + \cfrac{A_{2}}{(mx+2)^{2}} + \dots + \cfrac{A_{u}}{(mx+n)^{u}}

  • Para cada factor (ax^{2} + bx + c)^{v} se descompone de la siguiente forma:

\cfrac{B_{1}x + C_{1}}{ax^{2} + bx + c} + \cfrac{B_{2}x + C_{2}}{(ax^{2} + bx + c)^{2}} + \dots + \cfrac{B_{v}x + C_{v}}{(ax^{2} + bx + c)^{v}}

Ahora que ya tenemos las formas de descomposición de los factores, ya podemos pasar a las integrales, veamos varios ejemplos.

Ejemplos de integración por fracciones parciales

Ejemplo 1. Por medio de integracción por fracciones parciales resuelva lo siguiente:

\displaystyle \int \cfrac{x-1}{x^{3}-x^{2}-2x}

Primero tenemos qué encargarnos de descomponer el denominador en todos sus factores. Para eso observamos que el término x puede factorizarse de toda la expresión, obteniendo lo siguiente:

\displaystyle \int \cfrac{x-1}{x(x^{2} - x - 1)}

Lo siguiente que se puede observar es que tenemos un producto notable, vamos a descomponerlo para obtener:

\displaystyle \int \cfrac{x-1}{x(x-2)(x+1)}

Ya tenemos la parte complicada hecha, de verdad. Ahora viene la parte donde hay que quemar lápiz, para eso representamos a nuestra fracción de la siguiente forma:

\displaystyle \int \cfrac{(x-1)}{x(x-2)(x+1)} = \int \cfrac{A}{x} + \int \cfrac{B}{(x-2)} + \int \cfrac{C}{(x+1)}

Nota: Puedes usar A_{1}, A_{2} o B, C. Como se te acomode, nosotros utilizaremos A, B y C para este y los próximos ejemplos.

Bien, ahora ignoraremos que tenemos qué hacer la integral y pasaremos todo el denominador de nuestra expresión de la izquierda a la derecha. Cancelando los términos que se puedan cancelar:

x-1 = \cfrac{A\cancel{(x)}(x-2)(x+1)}{\cancel{x}} + \cfrac{B(x)(x+1)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}} + \cfrac{C(x)\cancel{(x+1)}(x-2)}{\cancel{(x+1)}}

x-1 = A(x-2)(x+1) + B(x)(x+1) + C(x)(x-2)

Aquí hay qué multiplicar ciertos números para ir eliminando expresión por expresión e ir encontrando el valor de A, B y C. ¿A qué me refiero? En la primera expresión de A(x-2)(x+1) necesito saber qué número sustituir a x para que el resultado me pueda cancelar a A y a C, vamos a sustituirla por 2. Observa lo que ocurre, sustituimos a las x‘s por 2:

2-1 = A(2-2)(2+1)+B(2)(2+1)+C(2)(2-2)

1 = A(0)(3) + B(2)(3)+C(2)(0) = 6B

Perfecto, ¿sí te diste cuenta de lo que se hizo? Ya que tenemos la B sola podemos hallar su valor:

1 = 6B \rightarrow B = \cfrac{1}{6}

Ya tenemos el valor de nuestra primera letra, vamos a hallar las otras dos letras. Ahora démosle a x el valor de -1:

-1-1 = A(-1-2)(-1+1) + B(-1)(-1+1) + C(-1)(-1-2)

\rightarrow A(-3)(0)+B(1)(0)+C(-1)(-3)

-2 = 3C \rightarrow C = -\cfrac{2}{3}

Excelente, ya tenemos el valor de C. Ahora hallemos el de A, démosle a x el valor de cero:

0-1 = A(0-2)(0+1) + B(0)(0+1) + C(0)(0-2)

\rightarrow -1 = A(-2)(1)\rightarrow A = \cfrac{1}{2}

¡Ya tenemos el valor de todos nuestros denominadores! Ahora simplemente pasamos a nuestras ecuaciones iniciales y sustituimos esos valores:

\cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{(x-2)} + \cfrac{C}{(x+1)}\rightarrow \cfrac{1}{2}\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{6}\cfrac{1}{x-2}+\cfrac{-2}{3}\cfrac{1}{x+1}

Le aplicamos la integral y ya tenemos casi resuelto el ejercicio:

\displaystyle \cfrac{1}{2}\int\cfrac{dx}{x}+\cfrac{1}{6}\int\cfrac{dx}{x-2}-\cfrac{2}{3}\int\cfrac{dx}{x+1}

Tomamos a x-2 como u y a x+1 como v:

u = x-2 \rightarrow du = dx\qquad v=x+1 \rightarrow dv=dx

Y sustituimos en nuestras integrales:

\displaystyle \cfrac{1}{2}\int\cfrac{dx}{x} + \cfrac{1}{6}\int\cfrac{du}{u} - \cfrac{2}{3}\int\cfrac{dv}{v}

Esta es una simple integral de dx sobre x y obtenemos nuestro casi resultado:

\cfrac{1}{2}\ln |x| + \cfrac{1}{6}\ln |u| - \cfrac{2}{3} \ln |v|

¡Sustituimos y finalmente tenemos nuestro resultado!

\cfrac{1}{2}\ln |x| + \cfrac{1}{6} \ln |x-2| - \cfrac{2}{3} \ln |x +1| +\text{C}

Ejemplo 2. Por medio de integración por fracciones parciales resuelva lo siguiente:

\displaystyle \int \cfrac{x^{2} - 2x - 3}{(x-1)(x^{2} + 2x + 2)}

Analizando el denominador de la ecuación, el conjunto de (x^{2} + 2x + 2) es irreductible, así que nuestra ecuación a resolver queda de la forma siguiente:

\cfrac{x^{2} - 2x - 3}{(x-1)(x^{2} + 2x + 2)} = \cfrac{A}{(x-1)} + \cfrac{Bx+C}{x^{2} + 2x + 2}

Eliminamos los denominadores:

x^{2} - 2x - 3 = \cfrac{A(x^{2} + 2x + 2)\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}} + \cfrac{(Bx + C)(x - 1)\cancel{(x^{2} +2x + 2)}}{\cancel{(x^{2} +2x + 2)}}

x^{2} - 2x - 3 = A(x^{2} + 2x + 2) + (Bx + C)(x - 1)

Vamos a darle a x el valor de 1 para obtener nuestro sistema de ecuaciones y hallar los valores de A, B y C.

1-2-3=A(1+2+2)+(B+C)(1-1)=5A

-4=5A\quad \rightarrow \quad A = -\cfrac{4}{5}

Perfecto, ya tenemos el valor de A pero para hallar los demás valores, tenemos que igualar términos cuadráticos con cuadráticos, lineales con lineales y constantes con constantes, así que vamos a ordenar nuestra ecuación.

x^{2} - 2x - 3 = Ax^{2} + 2Ax + 2A + Bx^{2} - Bx + Cx - C

= (A+B)x^{2} + (2A-B+C)x+(2A-C)

Igualamos:

1=A+B

-2=2A-B+C

-3=2A-C

La B la podemos hallar fácilmente con la primera ecuación, simplemente sustituimos el valor de A y ya tendremos el resultado:

1 = -\cfrac{4}{5} + B \rightarrow B = \cfrac{9}{5}

Tomemos la tercera ecuación y sustituyamos el valor de A.

-3 = 2\left(-\cfrac{4}{5}\right) - C\rightarrow C = \cfrac{7}{5}

Ahora que ya tenemos todos los valores, simplemente los sustituiremos en nuestras fracciones parciales:

\displaystyle \int\cfrac{-4/5}{(x-1)}dx + \int \cfrac{(9/5)x+7/5}{x^{2} + 2x + 2}

Procederemos a dividir la integral donde hay una suma en una suma de integrales, en este caso una resta de integrales y además las constantes las podemos sacar de la integral:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\int\cfrac{dx}{(x-2)} + \cfrac{9}{5} \int \frac{x}{x^{2} + 2x + 2}dx + \cfrac{7}{5}\int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2}

Presta atención. Aquí viene un truco de álgebra en las integrales, lo que se hará es añadir un más y menos uno en el numerador de la integral que tiene el \frac{9}{5}:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\int\cfrac{dx}{(x-2)} + \cfrac{9}{5} \int \frac{x + 1 - 1}{x^{2} + 2x + 2}dx + \cfrac{7}{5}\int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2}

Separamos en una resta de integrales:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\int\cfrac{dx}{(x-1)} + \cfrac{9}{5} \int \cfrac{x+1}{x^{2} + 2x + 2}dx - \cfrac{9}{5} \int \cfrac{1}{x^{2} + 2x + 2}dx + \cfrac{7}{5}\int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2}

Hacemos la igualdad siguiente y la derivamos:

v = x^{2} + 2x + 2\quad \rightarrow \quad dv = (2x+2)dx

Factorizamos el 2 y lo pasamos dividiendo:

\cfrac{dv}{2} = (x+1)dx

Ahora tenemos que nuestra integral es:

\displaystyle \cfrac{9}{10}\int\cfrac{dv}{v}

Lo que nos da como resultado lo siguiente por el momento:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\int\cfrac{dx}{(x-1)} + \cfrac{9}{10} \int \cfrac{dv}{v} - \cfrac{9}{5} \int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2} + \cfrac{7}{5}\int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2}

Vamos a integrar de una vez la primera integral para ir despejando la mesa, tomemos a u como x-1 para así tener que du=dx y tener la integral:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\int\cfrac{du}{u}

Así ya tenemos dos integrales resueltas:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\ln|u| + \cfrac{9}{10}\ln |v| - \cfrac{9}{5} \int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2} + \cfrac{7}{5}\int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2}

Hacemos la suma de integrales para obtener:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\ln|u| + \cfrac{9}{10}\ln |v| - \cfrac{2}{5} \int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 2}

Vamos a hacer otro pequeño truco de las integrales, el denominador de la integral que nos queda lo dividiremos así:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\ln|u| + \cfrac{9}{10}\ln |v| - \cfrac{2}{5} \int \cfrac{dx}{x^{2} + 2x + 1 +1}

Con eso podemos hacer lo siguiente:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\ln|u| + \cfrac{9}{10}\ln |v| - \cfrac{2}{5} \int \cfrac{dx}{(x^{2} + 2x + 1) +1}

Y aplicando nuestros productos notables de binomio al cuadrado perfecto tenemos lo siguiente:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\ln|u| + \cfrac{9}{10}\ln |v| - \cfrac{2}{5} \int \cfrac{dx}{(x + 1)^{2} +1}

Sustituimos a x+1 por w para así obtener que dw = dx y sustituirlo en la integral:

\displaystyle -\cfrac{4}{5}\ln|u| + \cfrac{9}{10}\ln |v| - \cfrac{2}{5} \int \cfrac{dw}{w^{2} +1}

¿Y ahora qué se preguntaría uno? Ya con eso se puede hacer otro pequeño truco y ver que en sí el 1 siempre da el mismo resultado aunque lo elevemos al cuadrado. Así que podemos representarlo de la siguiente forma:

\displaystyle -\cfrac{2}{5}\int\cfrac{dw}{w^{2} + (1)^{2}}

Lo que nos dice que podemos aplicar fórmula de integrales dándonos como resultado lo siguiente:

-\cfrac{4}{5}\ln|u| + \cfrac{9}{10}\ln |v| - \cfrac{2}{5} \arctan(w)

Y ahora sustituimos todas las letras para obtener nuestro resultado final:

-\cfrac{4}{5}\ln|x-1| + \cfrac{9}{10}\ln|x^{2} + 2x + 2| - \cfrac{2}{5}\arctan(x+1)+\text{C}

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