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Ejemplo 1 – Área limitada por un cardioide y una circunferencia

¡Hola a todos!

El ejemplo que realizaremos a continuación es un tema muy bello de la materia de Cálculo que es la determinación del área de un cardioide dentro de una circunferencia. Recuerde que si va a utilizar la calculadora, tiene que colocarla en modo de radianes. Al final del artículo está el video de la explicación.

Gráfica de un cardioide

La ecuación de un cardioide $r = 1 + \cos \theta$ se visualiza como se muestra a continuación:

Gráfica de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia $r = 3 \cos \theta$ se visualiza como se muestra a continuación:

circunferencia

¿Entonces cuál es el área que estamos buscando?

El área es la que se limita por el cardioide y la circunferencia, la que se pinta de azul en la siguiente figura:

cardioide y esfera

Resolvemos con integrales dobles

Para la resolución del ejercicio utilizaremos integrales dobles, la cual se representaría de la siguiente manera:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \int_{1 + \cos \theta}^{3 \cos \theta}r dr d\theta$$

Explicando cada parte de la integral:

Primera integral limitada por los radios de la circunferencia y el cardioide

La integral de $r\ dr$ significa el radio, por lo tanto nosotros estamos integrando los radios, los cuales esos radios tienen un límite inferior de $1 + \cos \theta$ que corresponde al radio del cardioide y un radio superior de $3 \cos \theta$ que corresponde al radio de la circunferencia.

Segunda integral limitada por los puntos de intersección de la circunferencia y el cardioide

La segunda integral de $d\ \theta$ es de qué a qué ángulo vamos a integrar, en este caso vamos a integrar del ángulo $0$ al ángulo de $60 °$ o $\cfrac{\pi}{3}$. ¿Que de dónde salió ese $\cfrac{\pi}{3}$? Se explicará a continuación:

Igualamos las dos curvas que tenemos que son la del cardioide y la circunferencia para determinar el ángulo $\theta$:

$$1 + \cos \theta = 3 \cos \theta$$

Pasamos un $\cos \theta$ de un lado para restarlo:

$$1 = 2 \cos \theta$$

Dividimos el $1$ con el $2$:

$$\frac{1}{2} = \cos \theta $$

Aplicamos $cos^{-1}$ a toda la igualdad:

$$\cos ^{-1}\left(\cfrac{1}{2}\right) = \theta$$

Y finalmente hallamos el ángulo de $\theta$, podemos usar la calculadora:

$$\theta = \frac{\pi}{3}$$

Y esa es la explicación por la cual los límites de integración van de `0` a `\frac{\pi}{3}`.

Nota:

El resultado que se obtenga al final se tendrá que multiplicar por 2 debido a que sólo se está hallando la parte de arriba del eje horizontal.

Realizamos todo el proceso de integración

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \int_{1 + \cos \theta}^{3 \cos \theta}r dr d\theta$$

Integral de $r$

Integramos el $r \ dr$ con sus respectivos límites y quedaría de la siguiente manera:

$$ \left . \frac{r^{2}}{2} \right |_{1+ \cos \theta}^{3 \cos \theta}$$

Efectuamos la resta:

$$\frac{(3 \cos \theta)^{2} – (1 + \cos \theta)^{2}}{2}$$

Desglosamos el binomio al cuadrado perfecto:

$$ \frac{9 \cos^{2} \theta \ – (1 + 2 \cos \theta + \cos^{2} \theta)}{2}$$

Simplificamos términos:

$$\frac{8 \cos^{2} \theta  \ – 2 \cos \theta \ – 1}{2} = 4 \cos^{2}\theta \ – \cos \theta -\frac{1}{2}$$

Integral de $\theta$

Ahora la integral con respecto a $\theta$ quedará de la siguiente manera:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(4 \cos^{2}\theta \ – \cos \theta \ -\frac{1}{2}) \ d\theta$$

Aplicando propiedades de la integrales, separamos las integrales para tener 3 integrales y que sea más sencillo integrar:

$$4 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}cos^{2}\theta \ d\theta \ – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta \ d\theta \ – \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \ d\theta$$

Para resolver la integral necesitamos saber una identidad trigonométrica muy poderosa que dice lo siguiente:

$$\cos^{2}\theta = \frac{1}{2}\cos 2 \theta + \frac{1}{2}$$

Y con esto resulta que ahora tendríamos 4 integrales:

$$4 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2} \cos 2\theta \ d\theta + 4\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{2} \ d\theta \ – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta \ d\theta- \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \ d\theta$$

Quiero que observemos $\displaystyle 4 \int_{0}^{\cfrac{\pi}{3}} \cfrac{1}{2} \cos 2\theta \ d\theta$

Vamos a reducir términos de esa integral:

$$ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}  \cos 2\theta \ d\theta $$

Ahora vamos a realizar cambios de variable:

$$u = 2\theta$$

Derivamos:

$$du = 2 \ d\theta$$

Dejamos sola la $d \ \theta$:

$$\frac{du}{2} = d \theta$$

Y ahora la integral quedaría de la siguiente manera:

$$2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos u \frac{du}{2}$$

Cancelamos los $2$ que aparecen:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos u \ du$$

Aplicamos la fórmula que dice:

$$\int \cos u \ du= \sin u \ du$$

Por lo tanto:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos u \ du = \left . \sin u \right |_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$

Recordando que $u = 2 \ \theta$, quedaría como:

$$\left . \sin 2 \ \theta \right |_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$

¡Reordenando todos los términos de la ecuación!

Reordenando todos los términos que hemos visto, quedaría de la siguiente manera:

$$\left . \sin 2 \theta \right |_{0}^{\frac{\pi}{3}} + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \ d\theta \ – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos \theta \ d\theta \ – \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \ d\theta$$

Recordando que $\int \ d\theta = \theta$, efectuaremos todas las integrales que faltan:

$$\left [ \sin 2 \theta + 2 \theta \ – \sin \theta \ – \frac{1}{2} \theta \right ]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$

Como todo va a ser evaluado de $0$ a $\frac{\pi}{3}$, quedaría de la siguiente manera la expresión:

$$\sin (\frac{2\pi}{3}) + \frac{2\pi}{3} – \sin (\frac{\pi}{3}) – \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3})$$

Podemos utilizar una calculadora e ingresar todos los valores y obtendremos lo siguiente:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} – \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$

Pero recordemos que nosotros sólo hallamos la parte superior del eje de las abscisas, así que el resultado se tiene que multiplicar por 2.

Por lo tanto el resultado final del área del cardioide dentro de la circunferencia es igual a:

$$A = \pi u ^{2}$$

Video de la explicación:

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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