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Distancia punto plano

Comencemos representando el punto $A$ y el plano $ax + by + cz = d$:

distancia punto plano

Sea el punto $P_{1}$ en el plano dado. Del plano tenemos al punto $P_{0}$ y además un vector $\vec{b}$ que define al segmento $\overset{\longrightarrow}{P_{0}P_{1}}$:

$$\vec{b} = <x_{1} – x_{0},y_{1} – y_{0},z_{1} – z_{0} >$$

La distancia $D$ de $P_{1}$ al plano es igual al valor absoluto de la proyección escalar de $\vec{b}$ sobre el vector normal $\vec{n}$:

$$D = \left| comp_{\vec{n}}\vec{b}\right| = \left| \cfrac{\vec{n}\cdot \vec{b}}{|\vec{n}|} \right|$$

La ecuación anterior se lee como el valor absoluto del producto punto del vector normal $n$ por el vector $b$ sobre el valor absoluto del vector normal $n$. Recuerda que el vector normal $n$ se representa con los coeficientes de las incógnitas de la ecuación del plano respectivamente, eso quiere decir que si la ecuación del plano es $ax + by + cz = d$, entonces el vector normal es $\vec{n} = <a,b,c>$. Aquí tienes la ecuación obtenida de las operaciones de la ecuación anterior:

$$D =\cfrac{a(x_{1} – x_{0}) + b(y_{1} – y_{0}) + c(z_{1} – z_{0})}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$$

Multiplicando los paréntesis queda de la siguiente manera:

$$D =\cfrac{ax_{1} – ax_{0} + by_{1} – by_{0} + cz_{1} – cz_{0}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$$

Ordenamos todas las incógnitas con subíndice $1$ juntas y las incógnitas con subíndice $0$ juntas:

$$ D =\cfrac{ax_{1} + by_{1} + cz_{1} – ax_{0} – by_{0} – cz_{0}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$$

Factorizamos el negativo y queda de la siguiente forma:

$$D =\cfrac{ax_{1} + by_{1} + cz_{1} – (ax_{0} + by_{0} + cz_{0})}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$$

Pero como la ecuación general del plano es:

$$a(x – x_{0}) + b(y – y_{0}) + c(z – z_{0}) = 0$$

$$ax – ax_{0} + by – by_{0} + cz – cz_{0} = 0$$

$$ax + by + cz = ax_{0} + by_{0} + cz_{0}$$

Observamos que $d = ax_{0} + by_{0} + cz_{0}$, entonces la ecuación de la distancia del punto al plano se puede escribir finalmente de la siguiente manera:

$$D = \cfrac{ax_{1} + by_{1} + cz_{1} – d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$$

Ejercicio de distancia entre un punto y un plano

Halle la distancia del punto $(3,-2,7)$ al plano $4x – 6y + z = 5$

No es necesario graficar el punto y el plano, pero lo vamos a hacer:

ejercicios distancia punto plano

El ejercicio se resuelve en un simple formulazo, tenemos $P_{1}$ que es:

$$P_{1} = (3,-2,7)$$

El vector normal es el que nos dará los valores de $a$, $b$ y $c$; pero el vector normal son los coeficientes de las incógnitas de la ecuación del plano respectivamente:

$$\begin{array}{c c c c c c} \vec{n} & = < & 4, & -6, & 1 &  >\\ & & a & b & c & \end{array}$$

Con nuestro punto $P_{1}$, nuestro vector normal y $d$, simplemente sustituimos en la fórmula:

$$D = \cfrac{(4)(3) + (-6)(-2) + (1)(7) –  5}{\sqrt{(4)^{2} + (-6)^{2} + (1)^{2}}}$$

Y agarramos una calculadora para hacer más fácil las operaciones de la fórmula para finalmente tener nuestra distancia entre el punto $P_{1}$ y el plano:

$$D = \cfrac{26\sqrt{53}}{53} \ \text{u}$$

La $\text{u}$ significa “unidades”.

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