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Diferenciales | Ejemplo 2

El ejemplo de diferenciales es el siguiente

La ley de Dulong establece que si $P$ atmósferas es la presión absoluta de un vapor saturado a una temperatura de $T$ grados Celsius, entonces $P = \left( \frac{40 + T}{140} \right)^{5}$, donde $T > 80$. Calcule la tasa instantánea de variación de $P$ con respecto a $T$, cuando a) $T = 240$ b) $P=1$

Para empezar con la resolución del problema y hallar la tasa instantánea de variación de $P$ con respecto a $T$ cuando $T=240$ y luego cuando $P = 1$, primero vamos a hallar la derivada de $P$, recordemos que es la derivada de $P$ con respecto a $T$:

$$P = \left( \cfrac{40 + T}{140} \right)^{5}$$

La derivada de la ecuación $P$ se calcula con la regla de la cadena que nos hará pasar el $5$ a multiplicar y ahora el exponente será $5-1=4$ pero la expresión dentro de los paréntesis se conserva. Ahora, esta expresión que mencionamos tiene que ser multiplicada por la derivada de lo que está adentro del paréntesis, que fácilmente se puede ver a simple vista:

$$\cfrac{dP}{dT} = 5 \left( \cfrac{40 + T}{140} \right)^{4}\left( \cfrac{40 + T}{140}\right)’$$

La derivada del paréntesis se puede expresar como una suma de derivadas, donde $\frac{40}{140}$ es igual a cero y $\frac{T}{140}$ es igual a $\frac{1}{140}$:

$$\cfrac{dP}{dT} = 5\left( \cfrac{40+T}{140} \right)^{4} \left(\cfrac{1}{140} \right)$$

Simplificamos el $5$ y el $140$:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \left( \cfrac{40+T}{140}\right)^{4}$$

Vamos con el inciso a) cuando $T = 240$

Este inciso es simple, sólo tomaremos la diferencial que calculamos y en $T$ sustituiremos el valor de $240$:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \left( \cfrac{40 + T}{140} \right) ^{4} = \cfrac{1}{28} \left( \cfrac{40 + 240}{140} \right)^{4}$$

Resolviendo la suma y simplificando la fracción, tendremos lo siguiente:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \left( \cfrac{280}{140} \right)^{4} = \cfrac{1}{28} \left( 2 \right)^{4}$$

Efectuaremos el exponente y después multiplicaremos por la fracción de $\frac{1}{28}$:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \left(16 \right) = \cfrac{4}{7}$$

Así obtendremos que nuestra tasa instantánea de variación de $P$ con respecto a $T$, cuando $T=240$ es:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{4}{7} \ atm / ^{\text{o}}\text{C}$$

Falta calcular el inciso b) de la tasa instantánea de variación de $P$ con respecto a $T$ cuando $P = 1$

Para poder resolver este ejercicio, primero necesitamos saber cuánto vale $T$ cuando $P = 1$, para eso tomemos nuestra ecuación $P$ y sustituyamos $P = 1$:

$$P = \left( \cfrac{40 + T}{140} \right) ^{5} \ \Rightarrow \ 1 = \left( \cfrac{40 + T}{140} \right)^{5}$$

Eliminamos el exponente a la quinta sacando raíz a la quinta a toda la igualdad, y la raíz quinta de $1$ es igual a $1$:

$$\sqrt[5]{1} = \sqrt[5]{\left( \cfrac{40 + T}{140} \right)^{5}}$$

$$1 = \cfrac{40 + T}{140}$$

Ahora pasamos el 140 multiplicando al 1:

$$140 = 40 + T$$

Y el 40 va a restar al 140 para que obtengamos el valor de $T$ cuando $P = 1$:

$$T = 100$$

Ahora sí podemos hallar la tasa instantánea de variación de $P$ con respecto a $T$ cuando $P = 1$, tomemos nuestra derivada calculada y sustituyamos el valor de $T$ con $100$:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \left( \cfrac{40 + T}{140} \right)^{4}$$

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \left( \cfrac{40 + 100}{140} \right)^{4}$$

Efectuemos la suma de la fracción y simplifiquemos la misma fracción:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \left(\cfrac{140}{140} \right)^{4} = \cfrac{1}{28} \left( 1 \right)^{4}$$

Elevando a la cuarta potencia el $1$ y multiplicándolo por el $\frac{1}{28}$, obtenemos lo siguiente:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28}$$

Y así finalmente obtenemos que nuestra tasa instantánea de variación de $P$ con respecto a $T$ cuando $P = 1$ es:

$$\cfrac{dP}{dT} = \cfrac{1}{28} \ atm/^{\text{o}}\text{C}$$

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