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Diferenciales | Ejemplo 1

El ejercicio de diferenciales de cálculo diferencial es el siguiente

Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un semicírculo. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 60 cm, con un error posible en la medición de 0.1 cm. Use diferenciales para calcular el error máximo al calcular el área de la ventana para poder tener la hermosa vista del pino.

ejercicio-de-diferenciales-1
Figura 1. La ventana con vista a un pino.

El ejercicio es bastante sencillo de resolver, como se observa en la figura de la ventana, es un cuadrado con una corona semicircular, una vez que ya nos haya quedado en claro eso, vamos a escribir nuestros datos:

$$l = 60 cm \qquad r = \cfrac{l}{2} \qquad dl = 0.1 cm$$

Como se puede observar, se nombró a $l$ como el lado del cuadrado, el radio mide la mitad del lado del cuadrado y la diferencial de $dl$ es el posible error en la medición que nos menciona el problema.

Lo que se quiere calcular es el error máximo en el área, así que tenemos que recurrir a la fórmula de área de un cuadrado y a la fórmula del área de un semicírculo:

$$A_{\square} = l^{2} \quad A_{\frac{\bigcirc}{2}} = \cfrac{\pi r^{2}}{2}$$

Como el área de la ventana incluye al cuadrado y a la corona semicircular, podemos sumas las dos áreas que escribimos anteriormente:

$$A_{T} = l^{2} + \cfrac{\pi r^{2}}{2}$$

Va a ser un poco complicado trabajar con tantas variables, así que lo que haremos es dejar a la expresión en términos del lado $l$, sustituiremos a $r = \frac{l}{2}$

$$A = l^{2} + \cfrac{\pi \left(\frac{l}{2}\right)^{2}}{2} = l^{2} + \cfrac{\pi\left( \frac{l^{2}}{4} \right)}{2}$$

$$A = l^{2} + \cfrac{\pi l^{2}}{8} $$

Ahora que ya tenemos el área en términos del lado $l$, podemos proceder a derivar. Derivada de $l^{2}$ es igual a $2l \ dl$, sustituyamos:

$$dA = 2l \ dl + \cfrac{\pi}{8} (2l \ dl) $$

Podemos simplificar la fracción del denominador $8$ y factorizamos $dl$:

$$dA = \left( 2l + \cfrac{\pi}{4} l \right) \ dl$$

Ahora que ya tenemos toda la expresión derivada, podemos sustituir los valores de $l$ con $60$ y de $dl$ con $0.1$:

$$dA = \left[ 2(60) + \cfrac{\pi}{4}(60) \right] \left(0.1 \right)$$

Efectuando las operaciones tendremos lo siguiente:

$$dA = \left( 12 + \cfrac{3}{2} \pi \right) \ cm^{2}$$

Finalmente resolvemos para obtener lo siguiente:

$$dA \approx 16.71 \ cm^{2}$$

¡El error máximo al calcular el área de la ventana utilizando diferenciales es de $16.71 \ cm^{2}$!

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