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Área entre funciones | Ejercicio 2

En este post aprenderemos a cómo calcular el área de una función con valor absoluto. Es mucho más fácil de lo que parece.

Comencemos

Para la función $f(x) = |x^{3} – x|$ calcula el área bajo la curva que se encuentra entre los límites de $x = -1$ y $x = 1$.

Hay que tener un poco de maña con esto de las funciones, recordemos que queremos calcular el área de la función $f(x)$, pero descomponer $f(x)$ en dos funciones como: 1. $x^{3} – x$ y 2. $x – x^{3}$ no es suficiente si no se sabe cómo se comportan.

Calculemos los puntos de intersección de la función $f(x)$. Igualemos a cero:

$$x^{3} – x = 0$$

Factorizaremos una sola $x$:

$$x(x^{2} – 1) = 0$$

Ahora factorizaremos el binomio:

$$x(x + 1)(x – 1) = 0$$

Y lo que podemos observar es que los puntos de intersección son cuando $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$, con esto ya hasta podríamos plantear nuestra integral, sólo faltan unas cosas más.

Descomponiendo la función $f(x)$, la primera función obtenida que es $x^{3} – x$ la pintamos de azul y se visualizará de la siguiente manera:

area entre funciones ejercicio 2 valor absoluto

Y la segunda función obtenida que es $x – x^{3}$  la pintamos de rojo y se visualizará de la siguiente manera:

area entre curvas ejercicio dos

Si juntamos las dos funciones en una misma gráfica obtendremos lo siguiente:

dos funciones para el calculo del area entre funciones

Bien bien, pero por lo que se observa, no necesitamos toda la función, necesitamos una parte de cada una de las funciones. Vamos a quitar la gráfica original que es la de color negro y dejaremos sólo las partes que representan a nuestra gráfica original con las partes que intersecan a nuestras funciones roja y azul:

area entre curvas nuestras funciones separadas

¡Genial! Eso que acabamos de representar se puede escribir matemáticamente gracias a que calculamos los puntos de intersección de la función original $f(x)$ y una vez que lo escribamos ya sabremos cómo realizar nuestra integral para el cálculo del área. Matemáticamente es así:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l l l}
x^{3} – x \quad & \text{ cuando } \quad & x \in [-1,0] \cup [1,\infty] \\
x – x^{3} & \text{ cuando } & x \in [-\infty,-1] \cup [0,1]
\end{array}\right.$$

Aprovechando la simetría de la función, podemos realizar una integral que vaya de $0$ a $1$ y el resultado multiplicarlo por $2$, veamos:

$$A = \int_{0}^{1}(x – x^{3}) \ dx$$

La integral de $x$ es $\frac{x^{2}}{2}$ y la integral de $x^{3}$ es $\frac{x^{4}}{4}$:

$$A = \left. \cfrac{x^{2}}{2} – \cfrac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$$

Evaluamos:

$$A = \cfrac{1}{2} – \cfrac{1}{4} – 0 = \cfrac{1}{4}$$

Ahora ese resultado obtenido lo multiplicaremos por $2$ para obtener el área total:

$$A = \cfrac{1}{4}(2) = \cfrac{1}{2} \ \text{u}^{2}$$

Así que el área total de la función $|x^{3} – x|$ entre los límites de $x = -1$ a $x = 1$ es igual a $\frac{1}{2} \ \text{u}^{2}$

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