En este post aprenderemos a cómo calcular el área de una función con valor absoluto. Es mucho más fácil de lo que parece.
Comencemos
Para la función $f(x) = |x^{3} – x|$ calcula el área bajo la curva que se encuentra entre los límites de $x = -1$ y $x = 1$.
Hay que tener un poco de maña con esto de las funciones, recordemos que queremos calcular el área de la función $f(x)$, pero descomponer $f(x)$ en dos funciones como: 1. $x^{3} – x$ y 2. $x – x^{3}$ no es suficiente si no se sabe cómo se comportan.
Calculemos los puntos de intersección de la función $f(x)$. Igualemos a cero:
$$x^{3} – x = 0$$
Factorizaremos una sola $x$:
$$x(x^{2} – 1) = 0$$
Ahora factorizaremos el binomio:
$$x(x + 1)(x – 1) = 0$$
Y lo que podemos observar es que los puntos de intersección son cuando $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$, con esto ya hasta podríamos plantear nuestra integral, sólo faltan unas cosas más.
Descomponiendo la función $f(x)$, la primera función obtenida que es $x^{3} – x$ la pintamos de azul y se visualizará de la siguiente manera:
Y la segunda función obtenida que es $x – x^{3}$ la pintamos de rojo y se visualizará de la siguiente manera:
Si juntamos las dos funciones en una misma gráfica obtendremos lo siguiente:
Bien bien, pero por lo que se observa, no necesitamos toda la función, necesitamos una parte de cada una de las funciones. Vamos a quitar la gráfica original que es la de color negro y dejaremos sólo las partes que representan a nuestra gráfica original con las partes que intersecan a nuestras funciones roja y azul:
¡Genial! Eso que acabamos de representar se puede escribir matemáticamente gracias a que calculamos los puntos de intersección de la función original $f(x)$ y una vez que lo escribamos ya sabremos cómo realizar nuestra integral para el cálculo del área. Matemáticamente es así:
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l l l}
x^{3} – x \quad & \text{ cuando } \quad & x \in [-1,0] \cup [1,\infty] \\
x – x^{3} & \text{ cuando } & x \in [-\infty,-1] \cup [0,1]
\end{array}\right.$$
Aprovechando la simetría de la función, podemos realizar una integral que vaya de $0$ a $1$ y el resultado multiplicarlo por $2$, veamos:
$$A = \int_{0}^{1}(x – x^{3}) \ dx$$
La integral de $x$ es $\frac{x^{2}}{2}$ y la integral de $x^{3}$ es $\frac{x^{4}}{4}$:
$$A = \left. \cfrac{x^{2}}{2} – \cfrac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$$
Evaluamos:
$$A = \cfrac{1}{2} – \cfrac{1}{4} – 0 = \cfrac{1}{4}$$
Ahora ese resultado obtenido lo multiplicaremos por $2$ para obtener el área total:
$$A = \cfrac{1}{4}(2) = \cfrac{1}{2} \ \text{u}^{2}$$
Así que el área total de la función $|x^{3} – x|$ entre los límites de $x = -1$ a $x = 1$ es igual a $\frac{1}{2} \ \text{u}^{2}$
Gracias por estar en este momento con nosotros : )