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Funções – Explicação completa e exemplos!

Chegou a hora de encontrar um nome que muitos estudiosos de engenharia encontrarão muitas vezes (mesmo que seja usado em outras áreas de estudo), e é o nome de função ou funções.

O que é uma função?

Uma função f é uma regra de correspondência que associa cada x objeto em um conjunto – chamado de domínio – com um único valor f(x) de um segundo conjunto. O conjunto de todos os valores assim obtidos é denominado contradomínio.

domínio-imagem-funções

\{ x,f(x) | x \in D\}

Para denotar uma função, usa-se uma letra fora do parêntese e algo que está dentro do parêntese f(x), onde o que está dentro do parêntese significa o valor que cada variável irá assumir. Veja como a função f(x) é afetada quando atribuímos os seguintes valores de f(1), f(a) e f(a+h):

\Rightarrow f(x) = x^{2} + 2 \qquad \begin{array}{l} f(1) = 1^{1} + 2 = 3 \\ f(a) = a^{2} + 2 \\ f(a + h) = (a + h)^{2}+2 = a^{2} + 2ah + h^{2} + 2 \end{array}

O domínio de uma função

  • O domínio da função é um conjunto de valores permitidos para uma função
  • Se não for especificado, assume-se que são todos reais (\mathbb{R}), de qualquer forma o domínio da função deve ser analisado porque nem sempre são todos reais
  • Aqueles números que causam uma divisão por zero ou raiz quadrada de um número negativo devem ser excluídos do domínio

Exemplos de domínios de função

(a) f(x) = x + 2

Os domínios da função são todos reais, \mathbb{R}

D: \ \mathbb{R}

(b) f(x) = \sqrt{x - 8}

O domínio desta função são todos os valores que tornam o resultado dentro da raiz quadrada maior ou igual a zero. Como o que você quer é que o domínio seja maior ou igual a zero, a expressão é tirada da raiz quadrada e uma desigualdade é resolvida:

x - 8 \ge 0 \ \rightarrow \ x \ge 8

D: \ x \ge 8

Portanto, o domínio da função é qualquer valor maior ou igual a 8.

(c) f(x) = \cfrac{2}{x + 4}

O domínio da função são todos os valores que tornam o resultado do denominador da fração diferente de zero. Portanto, o domínio da fração é todo em reais, exceto -4:

x + 4 \neq 0 \longrightarrow x \neq -4

D: \ \mathbb{R} - \{-4\}

(d) f(x) = \cfrac{x}{x^{2} - 9}

Como no exercício anterior, o resultado do denominador da fração tem que ser diferente de zero, vamos calculá-lo:

x^{2} - 9 \neq 0 \rightarrow x \neq \pm 3

D: \ \mathbb{R} - \{3,-3\}

(e) f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}

Como o que você deseja é evitar que o resultado do denominador da fração seja zero e que o resultado da raiz quadrada seja um número negativo, você deve fazer o seguinte:

4 - x^{2} > 0

Nós fatoramos

(2 - x)(2 + x) > 0

E obteremos o resultado do domínio de nossa função:

função-domínio

D: -2 < x < 2

D:\ -2 < x < 2

(f) f(x) = \sqrt{49 - x^{2}}

O resultado dentro da raiz precisa fornecer números maiores ou iguais a zero, então temos o seguinte:

49 - x^{2} \ge 0

Agora nós fatoramos

(7 - x)(7 + x) \ge 0

E graficamente o domínio da nossa função seria semelhante ao seguinte

exemplo-domínio-função

D: [-7,7]

D:\ -7\le x \le 7

Maneiras de representar uma função

Existem 4 maneiras de representar uma função

1. Verbalmente

Função x quadrado; função seno; função de raiz quadrada de x; etc. etc.

2. Numericamente

Tabulando o valor pela função de valor

\begin{array}{c | c}  x & y \\ \hline \\ \\ \\ \end{array}

3. Visualmente

representação-função-visualmente

4. Algebricamente

f(x) = x + 1

Gama de funções

O contradomínio será definido pela regra de correspondência (consiste em atribuir um elemento único de um determinado conjunto a cada elemento único de outro conjunto) e o domínio.

Isso significa que o intervalo são os valores que pode assumir no eixo y. Por exemplo:

A parábola y=x^{2} tem o domínio de todos os números reais: D:\ \mathbb{R} e seu intervalo só tem valores de zero a infinito porque são os valores que y assumirá com a função de nossa parábola y=x^{2}

parábola-pt

y = x^{2}

Quais curvas no plano xy são gráficos de funções?

Teste de linha vertical

Uma curva no plano xy é um gráfico de uma função de x se nenhuma linha vertical cruzar a curva mais de uma vez. Imagine que cruzamos os seguintes gráficos com uma linha vertical:

O primeiro não é o gráfico de uma função, porque se imaginarmos que ela é cruzada por uma linha vertical, ela cortará o gráfico em dois pontos.

O segundo gráfico e o terceiro gráfico são resultados de funções porque a linha vertical imaginária não cruza os gráficos mais de uma vez.

Simetria de funções

  • Uma função f(x) é uma função par se para cada x do domínio de f for verdadeira: f(-x)=f(x). Isso significa que é par se a função é simétrica em relação ao eixo y.
  • Uma função f(x) é uma função ímpar se para cada x no domínio de f o seguinte é verdadeiro: f(-x)=-f(x). Isso significa que é ímpar se a função é simétrica em relação à origem.

Exemplos:

(a) f(x) = x^{2}

f(-x) = (-x)^{2} = x^{2} \quad \text{PAR}

função-par

(b) f(x) = x^{3}

f(-x) = (-x)^{3} = -x^{3}\quad \text{ÍMPAR}

função-ímpar

(c) h(x) = 2x^{4} + 7x^{3} - x^{2} + 9

h(-x) = 2x^{4} - 7x^{3} - x^{2} + 9 \quad \text{<span class="VIiyi" lang="pt"><span class="JLqJ4b ChMk0b C1N51c" data-language-for-alternatives="pt" data-language-to-translate-into="es" data-phrase-index="0" data-number-of-phrases="1"><span class="Q4iAWc">NÃO</span></span></span> é PAR nem ÍMPAR}

nem-função-par-nem-ímpar

(d) f(x) = \cfrac{x^{3} -x}{x^{2} + 1}

f(-x)=\cfrac{-x^{3}+x}{x^{2}+1}=-\left( \cfrac{x^{3}-x}{x^{2}+1}\right) \quad \text{ÍMPAR}

função-ímpar-fração

(e) f(x) = |x|

f(x) = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}

\text{PAR}

função-absoluta-par

f(x) = |x|

Classificação de funções

Função injetiva

Cada valor no domínio corresponde a um valor no contradomínio. Isso significa que dois ou mais elementos não têm a mesma imagem.

Eles também são conhecidos como funções um-para-um.

y=x^{3} é uma função um-para-um.

y =x^{2} não é uma função um-para-um.

Função sobrejetiva (função sobrejetiva)

Cada elemento do contradomíniocorresponde a pelo menos um do domínio

O primeiro gráfico é sobrejetivo porque cada valor de y corresponde a um valor de x. Uma vez que todo o contradomínio corresponde a um valor do domínio.

O segundo gráfico não é sobrejetivo porque existem elementos do contradomínio (valores negativos de e) nos quais o gráfico não está incluído.

Função bijetiva

É uma função injetiva e sobrejetiva, exemplos:

  • f(x) = 5x - 3
  • f(x) = x^{3}

Monotonia de uma função: aumentando e diminuindo

Diz-se que uma função está aumentando ao longo de um intervalo I se:

f(x_{1}) < f(x_2) \ \text{sempre que} \ x_{1} < x_{2} \ \text{em} \ I

Diz-se que f(x) é uma função decrescente em I se:

f(x_{1}) > f(x_{2}) \ \text{sempre que} \ x_{1} < x_{2} \ \text{em} \ I

crescente-decrescente

Tipos de funções

Funções algébricas

Função de identidade

função-de-identidade

Função polinomial

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

f(x) = 5x^{7} + 7x^{4} - 3x^{2} + 2 \quad \text{}

f(x) = x^{2} + 3 \quad \text{quadrática}

f(x) = 5x^{3} - x \quad \text{cúbica}

Uma função algébrica é formada por um número finito de operadores algébricos na função de identidade e uma função constante.

Os operadores algébricos são: adição, subtração, multiplicação, divisão, empoderamento, radicação.

Exemplos de funções polinomiais

Função racional

f(x) = \cfrac{x^{2} + 3}{x - 1} \quad \Rightarrow \quad f(x) = \cfrac{P(x)}{Q(x)}

primeira-função-racional

f(x) = \cfrac{x^{2} + 3}{x - 1}

Função recíproca

função-recíproca

f(x) = frac{1}{x}

Função radical

função-radical

f(x) = sqrt{x + 3}

Funções transcendentais

Trigonométrico

Seno e cosseno

f(x) = \sin x

g(x) = \cos x

função-seno-cosseno

-1 \le \sin x \le 1

-1 \le \cos x \le 1

Tangente

f(x) = \tan \ (x) = \cfrac{\sin \ x}{\cos \ x}

função-tangente-1

Eles têm uma propriedade interessante que é a periodicidade.

\begin{array}{c} \sin \ (x + 2 \pi) = \sin \ x \\ \cos \ (x + 2 \pi) = \cos \ x \\ \tan \ (x + \pi) = \tan \ x \end{array}

Funções exponenciais

f(x) = a^{x}

x é uma variável que está no expoente

função-exponencial

f(x)= 5^{x}

\begin{array}{c c c} f(x) = 5^{x} & x = 0 & f(0) = 5^{0} = 1 \\ & & f(1) = 5^{1} = 5 \\ & & f(2) = 25 \\ & & f(-10)=5^{-10}=\cfrac{1}{5^{-10}} \sim 0 \end{array}

Lembrar:

  • Se x=n é um número inteiro positivo, então a^{x}=a\cdot a \cdot a
  • Se x=0, então a^{0} = 1
  • Se x=-n, então \frac{1}{a^{n}}
  • Se x = p / q y q > 0, então a^{x} = \sqrt[q]{a^{p}} ou (\sqrt[q]{a})^{p}

Exemplo:

f(x) = (0.5)^{x} = \left ( \cfrac{1}{2}\right)^{x} = \cfrac{1}{2^{x}}

função exponencial

f(x) = (0.5)^{x}

Funções logarítmicas

f(x) = \log_{a}x

\log_{2}(x)   \log_{3}(x)   \log_{10}(x)

várias-funções-exponenciais-1

Onde a é a base de uma constante positiva, que é a>0

Uma propriedade muito importante dos logaritmos a considerar é a seguinte:

f(1) = \log_{a}(1) = 0

Agora, a qual número a base é elevada para chegar ao argumento? Simples, observe:

\log_{a}x = n \ \Rightarrow \ a^{n} = x

Hiperbólico

funções-hiperbólicas-1

\sinh \ (x) = \cfrac{e^{+x} - e^{-x}}{2}

\cosh \ (x) = \cfrac{e^{+x} + e^{-x}}{2}

\tanh \ (x) = \cfrac{\sinh \ (x)}{\cosh \ (x)}

Trigonométrica inversa

funções-trigonométricas-inversas-1

\arcsin \ (x)

\arccos \ (x)

\arctan \ (x)

Especiais, seccionados

f(x) = \ \begin{cases} g(x) & x < a \\ h(x) & a \le x \le b \\ k(x) & x > b\end{cases}

Exemplos de funções seccionadas

f(x) = \ \begin{cases} x & x \le 0 \\ x + 1 & x > 0\end{cases}

Domínio: \mathbb{R}

funciones-seccionadas

f(x) = \ \begin{cases} x + 2 & x \le -1 \\ x^{2} & x > -1 \end{cases}

funcion-seccionada_1

Etapa da unidade ou etapa Heaviside
H(x) = \ \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x > 0\end{cases}

funciones-escalón-funcion-heaviside

Função de sinal
\text{sgn}(x) = \ \begin{cases} 1 & \text{se } x > 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \\ -1 & \text{se } x < 0  \end{cases}

função-sinal

Operações com funções

Duas funções podem ser combinadas para formar novas.

Seja f \ \land \ g \quad \Rightarrow \quad pode ser obtido f + g, f - g, f \cdot g, \cfrac{f}{g}

Cada um com domínios A \ \land \ B

\begin{array}{c c c c c} & & & & \text{domínio} \\ \Rightarrow & (f + g)(x) & = & f(x) + g(x) & A \cap B \\ & (f - g)(x) & = & f(x) - g(x) & A \cap B \\ & (f \cdot g)(x) & = & f(x) \ \cdot \ g(x) & A \cap B \\ & \bigg ( \cfrac{f}{g} \bigg ) (x) & = & \cfrac{f(x)}{g(x)} & \{ x \in \ A \cap B \ | \ g(x) \neq 0 \} \end{array}

Exemplo f(x) = \sqrt{x} \quad g(x) \sqrt{4 - x^{2}}

\sqrt{x} \ D: \ x \ge 0 \ [0, +\infty)
\sqrt{4 - x^{2}} \ D: \ [-2, 2]
D: [0,+\infty) \cap [-2,2] = [0,2]

\begin{array}{l c} (f + g)(x) = \sqrt{x} + \sqrt{4 - x^{2}} & [0,2] \\ (f - g)(x) = \sqrt{x}- \sqrt{4 - x^{2}} & [0,2] \\ (f \cdot g)(x) = \sqrt{x}\sqrt{4-x^{2}} = \sqrt{4x - x^{3}} & [0,2] \\ \bigg ( \cfrac{f}{g} \bigg )(x) = \cfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x^{2}}}& [0,2) \end{array}

Composição de funções

Seja y = f(u) \ \land \ u = g(x) \quad \Rightarrow \quad y = f(g(x))

Exemplo f(u) = \sqrt{u + 1} \qquad u = g(x) = x^{2} - 1

\Rightarrow \ f(g(x)) = \sqrt{x^{2} - 1 + 1} = \sqrt{x^{2}} = x

\Rightarrow Dadas duas funções f e g a função composta é definida por:

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Exemplo de funções compostas

Se f(x) \sqrt{x} \qquad g(x) = \sqrt{2 - x}

f \circ g \ \Rightarrow \ f(g(x)) = \sqrt{\sqrt{2 - x}} = \sqrt[4]{2 - x}

(-\infty,2]

g \circ f \ \Rightarrow \ g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \sqrt{2 - \sqrt{x}}

\begin{cases} 2 - \sqrt{x} \ge 0 \qquad x \ge 0 \qquad [0,4] \\ \ge \sqrt{x} \\ 4 \ge x \end{cases}

 

f \circ f \ \Rightarrow \ f(f(x)) = f(\sqrt{x}) = \sqrt{\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x}

x \ge 0

g \circ g \ \Rightarrow \ g(g(x)) = g(\sqrt{2 - x}) = \sqrt{2 - \sqrt{2 - x}}

\begin{array}{c} 2 - x \ge 0 \\ x \le 2 \end{array} \quad \text{y} \quad \begin{array}{c} 2 - \sqrt{2 - x}  \ge 0\\ 2 \ge \sqrt{2 - x} \end{array} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{c} 4 \ge 2 - x \\ x \ge -2
\end{array} \quad [-2,2]

Se h(x) = x + 9 \quad g(x) = \cos x \quad f(x) = x^{2}

f \circ g \circ g = f(g(h(x))) = f(g(x + 9)) = f(\cos (x + 9)) = \cos^{2}(x + 9)

Funções inversas

As funções injetivas um-para-um com domínio A e contradomínio B têm uma função inversa com domínio B e contradomínio A.

f(x)=y \ \leftrightarrow \ f^{-1}(y)=x \quad *Não confunda com [f(x)]^{-1} = \cfrac{1}{f(x)}

Seja f(x) = x^{5} + 2

\begin{array}{c c l l} &(1) & y = f(x) = x^{5} + 2 & \text{Domínio } \mathbb{R} \ \text{Contradomínio} \mathbb{R} \\ \text{Resolver } x & (2) & x = \sqrt[5]{y - 2}& \mathbb{R} \land \mathbb{R} \\ & (3) & f^{-1}(x) = \sqrt[5]{x - 2} & \end{array}

Seja f(x) = \cfrac{1 + 3x}{5 - 2x}

y = \cfrac{1 + 3x}{5 - 2x}
\downarrow
(5 - 2x)y = 1 + 3x
5y - 2xy = 1 + 3x
5y - 1 = 3x + 2xy = x(3 + 2y)
x = \cfrac{5y - 1}{2y + 3} \ \longrightarrow \ f^{-1}(x) = \cfrac{5x - 1}{2x + 3}

É importante mencionar que os gráficos dos inversos são simétricos.

Transformação de função

Muitas vezes, ao adicionar uma constante adicionando, subtraindo, multiplicando ou dividindo em uma função, nos perguntamos como será graficamente quando adicionamos essa constante. Bem, é mais fácil do que parece, e é isso que veremos a seguir.

Rolagem horizontal e vertical

Começaremos movendo as funções horizontal e verticalmente, vamos ver a seguinte imagem:

rolagem de função

Temos uma função f(x), vamos movê-la das seguintes maneiras:

  • Esquerda: para mover uma função para a esquerda, você deve adicionar uma constante ao valor de x
  • Direita: para mover uma função para a direita, você deve subtrair uma constante do valor de x
  • Up: para fazer uma função aumentar, você deve adicionar uma constante a toda a função
  • Para baixo: para fazer uma função descer, subtraia uma constante de toda a função

Com isso, estamos prontos para mover nossa função como quisermos.

Exemplo de rolagem horizontal e vertical de funções

Temos a seguinte função f(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2} (no gráfico apenas uma parte da função é tomada para deixar o gráfico mais limpo)

E se quisermos mover essa função uma unidade para a esquerda, temos que adicionar o número 1 a todos os x‘s, da mesma forma, se quisermos mover a função para a direita, o número 1 deve ser subtraído de todos os x‘s. Para deslocar a função para cima ou para baixo em uma unidade, basta adicionar uma unidade que adiciona ou subtrai de toda a função. Vamos movê-lo

Mover para cima: f(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+2

Mover para baixo: f(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}-2

Mover para a esquerda: f(x) = (x+2)^{4}+(x+2)^{3}+(x+2)^{2}

Mover para a direita: f(x) = (x-2)^{4}+(x-2)^{3}+(x-2)^{2}

exemplo-de-rolagem-de-funções

Alongamentos e reflexos

É muito comum que às vezes você veja funções muito semelhantes ou espelhadas em relação ao eixo x ou y. É muito fácil esticar, apertar ou espelhar uma função, veremos isso a seguir.

Observe o gráfico a seguir com nossa função f(x):

alongamento-e-reflexão-de-funções

  • cf(x) função de compressão
  • \frac{1}{c}f(x) função de alongamento
  • -f(x) reflete a função em torno do eixo x
  • f(-x) reflete a função em torno do eixo y

Exemplo de alongamentos e reflexos das funções

Vamos pegar um pedaço da função f(x) = (x+2)^{4}+(x+2)^{3}+(x+2)^{2} e vamos esticá-la e refleti-lo:

  • Função compactada: 5(x+2)^{4}+5(x+2)^{3}+5(x+2)^{2}
  • Função alongada: 0.1(x+2)^{4}+0.1(x+2)^{3}+0.1(x+2)^{2}
  • Função refletida em torno do eixo y: (-x+2)^{4}+(-x+2)^{3}+(-x+2)^{2}
  • Função refletida em torno do eixo x: -(x+2)^{4}-(x+2)^{3}-(x+2)^{2}

alongamento-e-reflexões-de-funções-1

Modelagem com funções

Exemplo 1

P = \text{perímetro}

triângulo-funções

P = 3a

a = P/3

Da área A = b \times h / 2 \quad b = a = \cfrac{P}{3}

h = \sqrt{a^{2} - (1/2 \ a)^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{1}{4} a^{2}} = \cfrac{\sqrt{3}}{2}a = \cfrac{\sqrt{3}}{3} \ \cfrac{P}{3} = \cfrac{P}{2\sqrt{3}}

A =\cfrac{1}{2} \bigg ( \cfrac{P}{3} \bigg ) \bigg ( \cfrac{1}{2\sqrt{3}} \bigg ) = \cfrac{1}{12\sqrt{3}} P^{2}

Exemplo 2

cilindro-funções

h = \sqrt{4r^{2} - r^{2}} = \sqrt{3} r

2h = 2\sqrt{3}r

V(r) = \pi r^{2} \cdot 2 \sqrt{3} = 2\sqrt{3}r^{3}

Obrigado por estar neste artigo conosco :)

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