Para a resolução dos exercícios apresentados a seguir, temos que aplicar a seguinte soma de Riemann:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x
Onde \Delta x e x_{i} são calculados da seguinte forma:
\Delta x = \cfrac{b - a}{n}
x_{i} = a + i\Delta x
Ainda vamos precisar de alguns somatórias que você pode encontrar clicando aqui
Exercício 1 das somas de Riemann
Avalie f(x) = x no intervalo [-3,1] usando a soma de Riemann e depois verifique o resultado usando a integral definida correspondente.
O valor do intervalo que está mais à esquerda é a=-3 e o outro é b=1, vamos montar as equações de \Delta x e x_{i}:
\Delta x = \cfrac{1-(-3)}{n} = \cfrac{4}{n}
x_{i} = -3 + i \cfrac{4}{n} = -3 + 4 \cfrac{i}{n}
Agora sim, vamos escrever a somatória para resolver, vamos substituir \Delta x então calculamos e vamos substituir todas as x da função f(x) pelo que calculamos em x_{i} anteriormente:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\left( -3 + 4 \cfrac{i}{n}\right) \left( \cfrac{4}{n} \right)
Perfeito, agora vamos multiplicar os dois parênteses que temos na somatória:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left( \cfrac{-12}{n} + 16 \cfrac{i}{n^{2}}\right)
Por propriedades de somatórios, dividiremos nossa soma da somatória em uma soma de somatórias:
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{-12}{n} + \sum_{i=1}^{n}16 \cfrac{i}{n^{2}}
Qualquer coisa que não seja i pode sair do somatório por propriedades de somatórios já que tudo que não é i é considerado uma constante:
\displaystyle -\cfrac{12}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 + \cfrac{16}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n} i
Agora vamos aplicar a somatória de uma constante e a somatória de i que você pode encontrar neste artigo e então passamos a simplificar:
-\cfrac{12}{n}n + \cfrac{16}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] =
Temos que o primeiro termo de -\frac{12}{n}n os n podem ser cancelados já que está no numerador e o outro no denominador, para o próximo termo de \cfrac{16}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] vamos cancelar o n do numerador e o n^{2} será removido do expoente ao quadrado para que fique com um expoente elevado a 1. Obtemos o seguinte:
-12 + \cfrac{16}{n} \left[ \cfrac{n+1}{2} \right]
Em nosso primeiro termo não podemos fazer nada no momento, mas no segundo termo podemos dividir o 16 por 2, a fim de obter o seguinte:
-12 + \cfrac{8}{n} \left[n+1\right]
Com este resultado passamos a multiplicar o \frac{8}{n} pelo que está dentro dos colchetes:
-12 + \cfrac{8n}{n} + \cfrac{8}{n}
O termo \frac{8n}{n} pode ser simplificado, pois podemos eliminar o n do numerador com o n do denominador:
=-12 + 8 + \cfrac{8}{n}
Subtraímos -12 + 8 e deixamos o \frac{8}{n} como tal para simplificar completamente nossa expressão:
= -4 + \cfrac{8}{n}
Por fim vamos aplicar o conceito de limite, sabendo como funciona, todos os valores que posseum denominador n serão iguais a zero e valores que não tiverem n serão preservados:
\underset{n \to \infty} \lim \; -4 + \cfrac{8}{n} = -4 + 0 = - 4
Resposta final: -4
Vamos verificar se a integral da função f(x) com os limites [-3,1] dá o mesmo resultado, então nossa avaliação da soma de Riemann está correta :
\displaystyle \int_{-3}^{1}x \ dx = \left[ \cfrac{x^{2}}{2} \right]_{-3}^{1}
Nós avaliamos:
= \cfrac{1}{2} - \cfrac{9}{2} = -4
Excelente, o que significa que nosso resultado -4 está correto!
Exercício 2 das somas de Riemann
Avalie f(x) = x^{2} - x no intervalo [1,2] usando a soma de Riemann e depois verifique o resultado usando a integral definida correspondente.
Vamos calcular \Delta x e x_{i}:
\Delta x = \cfrac{2 - (1)}{n} = \cfrac{1}{n}
x_{i} = 1 + \cfrac{i}{n}
Agora sim, vamos a definir a somatória para resolver, vamos substituir \Delta x pelo que calculamos anteriormente e vamos substituir todos os x de a função f(x) pelo que calculamos em x_{i} anteriormente:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[\left( 1 + \cfrac{i}{n} \right)^{2} - \left(1 + \cfrac{i}{n} \right) \right] \left(\cfrac{1}{n} \right)
Vamos elevar o parêntese ao quadrado, lembrando que é um binômio quadrado perfeito, portanto teremos o seguinte:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left[ 1 + \cfrac{2i}{n} + \cfrac{i^{2}}{n^{2}} - 1 - \cfrac{i}{n} \right] \left( \cfrac{1}{n} \right)
Agora vamos reduzir termos do que está dentro dos colchetes:
\sum_{i=1}^{n} \left[ \cfrac{i}{n} + \cfrac{i^{2}}{n^{2}} \right]\left(\cfrac{1}{n} \right)
Vamos multiplicar o colchete com os parênteses:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( \cfrac{i}{n^{2}} + \cfrac{i^{2}}{n^{3}} \right)
Em seguida, dividiremos nossa soma da somatória em uma soma de somatórias:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \cfrac{i}{n^{2}} + \sum_{i=1}^{n} \cfrac{i^{2}}{n^{3}}
E tudo que não é i pode sair da somatória, pois tudo que não é i é considerado uma constante:
\displaystyle \cfrac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i + \cfrac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} i^{2}
Se não sabemos a somatória de i nem a somatória de i^{2}, podemos consultá-los clicando aqui. Depois de consultá-los, será o seguinte:
\cfrac{1}{n^{2}} \left[ \cfrac{n(n+1)}{2} \right] + \cfrac{1}{n^{3}} \left[ \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]
No momento, só falta simplificar termos, vamos eliminar o n^2 do denominador com o n do numerador que está sozinho do primeiro termo de a expressão para obter n no denominador e faremos o mesmo para eliminar o n^3 do denominador com o n do numerador para obter o seguinte:
\cfrac{1}{n} \left[ \cfrac{(n+1)}{2} \right] + \cfrac{1}{n^{2}} \left[ \cfrac{(n+1)(2n+1)}{6} \right]
Faremos as correspondentes operações de multiplicação do primeiro termo. Com o segundo termo, primeiro multiplicaremos os parênteses de (n+1)(2n+1) e removeremos o 6 nada mais para ter uma melhor estética visual.
= \cfrac{1}{2n} [n +1] + \cfrac{1}{6n^{2}} [2n^{2} + n + 2n + 1] =
A próxima coisa que faremos é somar os termos de 2n^{2} + n + 2n + 1:
= \cfrac{1}{2n} [n +1] + \cfrac{1}{6n^{2}} [2n^{2} + 3n + 1] =
E agora o que faremos é multiplicar os termos correspondentes:
\cfrac{n}{2n} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{2n^{2}}{6n^{2}} + \cfrac{3n}{6n^{2}} + \cfrac{1}{6n^{2}}
Vamos eliminar valores, no primeiro termo você pode eliminar os n‘s, o segundo termo fica como está, no terceiro termo eliminamos o 2 com o 6 e o n^{2} para obter \frac{1}{3}, o quarto termo elimina o 3 com o 6 e o n do numerador com o n^{2} do denominador para obter \frac{1}{2n} e o quinto termo permanece como está.
\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{6n^{2}}
Por fim aplicaremos o conceito de limite, onde tudo que tem denominador n é igual a zero:
\underset{n \to \infty} \lim \; \left[ \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2n} + \cfrac{1}{6n^{2}} \right] = \cfrac{5}{6}
Resposta final: \cfrac{5}{6}.
Agora vamos calcular a integral da função f(x) no intervalo [1,2]:
\displaystyle \int_{1}^{2}(x^{2} - x) dx = \left[ \cfrac{x^{3}}{3} - \cfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}
Avaliamos:
= \cfrac{8}{3} - \cfrac{4}{2} - \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2} = \cfrac{5}{6}
Excelente, o que significa que nosso resultado para \frac{5}{6} está correto!
Anotações importantes
- Se na hora de chegar na parte de avaliação do limite você perceber que tem algum n com expoente positivo em algum numerador, algum cálculo aí fora não foi feito corretamente, então você tem que revisar todas as operações novamente .
- Vale lembrar (já que às vezes é esquecido), mas lembre-se que a somatória de uma constante é igual a n multiplicado pela constante.
- Anime-se, é fácil fazer esses exercícios!
Obrigado por estar conosco neste momento : )
