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Teorema del binomio

Calculadora de binomio elevado a algún exponente

La estructura que tiene la calculadora es la siguiente:

$$\left( \text{Monomio 1} + \text{Monomio 2} \right)^{\text{Exponente}} = \text{Resultado}$$

  • Puedes ingresar valores decimales, pero lo más recomendable es que sólo ingreses valores enteros
  • No ingreses letras u otros caracteres. A excepción del caracter “-” que indica que un entero es negativo
Monomio 1:

Monomio 2:

Exponente:



Respuesta:

Vamos con la teoría del teorema del binomio

Al teorema del binomio igual se le conoce como fórmula del binomio ya que, es eso, una fórmula. El teorema del binomio sólo es válido en términos de una potencia entera y positiva de un binomio. Veamos los primeros cinco valores de la potencia:

$$
\begin{array}{c c l}
(x + y)^{1} & = & x + y \\
(x + y)^{2} & = & x^{2} + 2xy + y^{2} \\
(x + y)^{3} & = & x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \\
(x + y)^{4} & = & x^{4} + 4x^{3}y + 6x^{2}y^{2} + 4xy^{3} + y^{4}\\
(x + y)^{5} & = & x^{5} + 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} + 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}
\end{array}
$$

Hay mucha teoría que demuestra el teorema del binomio, pero nosotros vamos a irnos directamente con la manera en la que puedes escribir binomios con exponentes más grandes, necesitamos el triángulo de pascal y comprender algo muy sencillo. Lo primero que necesitamos comprender es que cuando elevamos un binomio a una cierta potencia, observaremos el comportamiento siguiente:

$$(x+y)^{n} = x^{n} + a\ x^{n-1}y + b \ x^{n-2} y^{2}  + \dots  + b \ x^{2}y^{n-2} + a \ x y^{n-1} + y^{n}$$

Suponiendo que no sabemos los coeficientes que va a tener cada monomio que se obtenga, lo que quiero que observes es que el exponente del primer término, $x$, empieza con el valor de la potencia del binomio y se va restando uno en uno hasta que su exponente llega a valer cero. Lo contrario ocurre con el segundo término del binomio, $y$, su exponente comienza en cero (ya que un número elevado a la cero es igual a uno) y va aumentando uno en uno el exponente hasta que llega a valer lo que vale el exponente del binomio.

Bien, ya que tenemos bien claro lo antes mencionado, vayamos al triángulo de pascal, vamos a colocar los valores que tomarían los coeficientes del desarrollo de determinado binomio dependiendo de su exponente, veamos:

$$
\begin{array}{c c c}
n = 0 & \quad & 1 \\
n = 1 & & 1 \quad 1\\
n = 2 & & 1 \quad 2 \quad 1 \\
n = 3 & & 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
n = 4 & & 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
n = 5 & & 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
n = 6 & & 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1
\end{array}
$$

Genial, una vez que ya tenemos el triángulo de pascal, vamos con nuestro ejemplo, desarrollar el siguiente binomio:

$$(x+y)^{6}$$

Para hacer esto lo primero que vamos a hacer es colocar el orden ascendente y descendente de los exponentes y luego vamos a añadirle los coeficientes que se obtienen del triángulo de pascal cuando $n=6$:

$$
\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c}
x^{6} & \ & x^{5} y & \ & x^{4} y^{2} & \ & x^{3} y^{3} & \ & x^{2} y^{4} & \ & x y^{5} & \ & y^{6} \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
x^{6} & \ & 6 x^{5} y & \ & 15 x^{4} y^{2} & \ & 20 x^{3} y^{3} & \ & 15 x^{2} y^{4} & \ & 6 x y^{5} & \ & y^{6}
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{c}
\Downarrow \\
Finalmente \\
\Downarrow \\
x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6}
\end{array}
$$

¡Ya con eso puedes desarrollar binomios con exponentes mucho más grandes!

¿Qué pasa si un término de mi binomio es negativo?

Tranquilo, es mucho más fácil de lo que suena, lo que se va a hacer es encapsular al negativo en un paréntesis y colocaremos un signo positivo. Resolvamos el siguiente binomio:

$$(x-y)^{6}$$

Resulta más sencillo agrupar al negativo con un paréntesis y colocar un signo positivo debido a que al cerebro le resulta más fácil. Vamos a ver cómo queda:

$$(x+ (-y))^{6}$$

Genial, nuestro segundo término ahora es $(-y)$. Sólo falta escribir cómo quedará nuestro binomio desarrollado, así que vamos a escribir casi lo mismo que escribimos mas arriba:

$$
\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c}
x^{6} & \ & x^{5} (-y) & \ & x^{4} (-y)^{2} & \ & x^{3} (-y)^{3} & \ & x^{2} (-y)^{4} & \ & x (-y)^{5} & \ & (-y)^{6} \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
x^{6} & \ & 6 x^{5} (-y) & \ & 15 x^{4} (-y)^{2} & \ & 20 x^{3} (-y)^{3} & \ & 15 x^{2} (-y)^{4} & \ & 6 x (-y)^{5} & \ & (-y)^{6}
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{c}
\Downarrow \\
Casi \  finalmente \\
\Downarrow \\
x^{6} + 6 x^{5} (-y) + 15 x^{4} (-y)^{2} + 20 x^{3} (-y)^{3} + 15 x^{2} (-y)^{4} + 6 x (-y)^{5} + (-y)^{6}
\end{array}
$$

Lo único que falta es desarrollar los paréntesis de cada $(-y)$. Recordemos que un negativo elevado a una potencia par siempre será positivo, y si es elevado a una potencia impar siempre será negativo.

$$x^{6} – 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} – 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} – 6 x y^{5} + y^{6}$$

Ahora sí, ya sabes cómo desarrollar binomios con exponentes muy grandes.

Antes de que por el momento te vayas

Te dejo un PDF donde puedes encontrar los binomios desde $n=0$ hasta $n=20$ e igual encontrarás la fórmula del teorema del binomio, sólo haz clic aquí $\Rightarrow$ Teorema del binomio y fórmulas.

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

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