Si t_{k} es una sucesión infinita, entonces una expresión de la forma:
t_{1} + t_{2} + t_{3} + \dots
se llama una serie infinita o simplemente una serie. Una serie es el resultado de sumar los elementos que conforman una sucesión.
Una serie es un elemento de la sucesión de sumas parciales
\begin{array}{l} S_{1} = t_{1}\\ S_{2} = t_{1} + t_{2} = S_{1} + t_{2}\\ S_{3} = t_{1} + t_{2} + t_{3} = S_{2} + t_{3} \\ \dots \\ S_{n} = t_{1} + t_{2} + t_{3} + \dots + t_{n} = S_{n-1} + t_{n} \end{array}Representada por la siguiente expresión:
S_{n} = S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots , S_{n}, \dots
El cual tenemos a la fórmula recursiva:
S_{n} = S_{n-1} + t_{n} \ \text{ con } \ S_{1} = t_{1} \ \text{ y } \ k = 2, 3, 4, \dots
Recordemos que si la sucesión que origina una serie es convergente, entonces la sucesión también lo será.
Tipos de series
Existen dos tipos de series que se manejan en los métodos numéricos:
- Series de potencias de x
\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}C_{i}x^{i} = C_{0} + C_{1}x + C_{2}x^{2} + \dots + C_{k}x^{k}
- Series de potencias de \left( x-a \right)
\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}C_{i}\left( x - a \right)^{i} = C_{0} + C_{1}\left(x - a \right) + C_{2}\left( x - a\right)^{2} + \dots + C_{k}\left(x - a \right)^{k}
Aplicando un conjunto de operaciones matemáticas que son igualar las series a una función y aplicando derivadas con respecto a x hasta la N-ésima y luego evaluando la función y las derivadas en el punto x=0, obtendremos que las series de potencias de x son las famosas series de McLaurin y las series de potencias de \left( x - a \right) son las famosas series de Taylor:
Series de potencias de x = Series de McLaurin
f(x) = f(0) + f\text{'}(0)x + \cfrac{f\text{''}(0)x^{2}}{2!} + \cfrac{f\text{'''}(0)x^{3}}{3!} + \dots + \cfrac{f^{k}(0)x^{k}}{k!}
Series de potencias de \left( x-a \right) = Series de Taylor
f(x) = f(a) + f\text{'}(a)\left(x - a\right) + \cfrac{f\text{''}(a)\left(x - a \right)^{2}}{2!} + \cfrac{f\text{'''}(a)\left( x - a \right)^{3}}{3!} + \dots
+ \cfrac{f^{k}(a)\left(x - a\right)^{k}}{k!}
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