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Progresiones

Las progresiones que veremos a continuación son sucesiones de números de un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una ley dada.

El único requerimiento para que un conjunto de números sea una sucesión es que exista una fórmula o ley con la cual sea posible obtener cualquier número de dicha sucesión.

Veamos rápidamente un ejemplo. Si tenemos que $u_{n}$ representa el enésimo término de una sucesión, entonces debe existir una expresión para $u_{n}$ en términos de $n$, esto quiere decir que dicho término enésimo debe ser una función de $n$. Tomando como sucesión lo siguiente:

$$3, \ 5, \ 7, \ \dots \ , 2n +1.$$

$u_{n}$ es una fórmula que nos permite obtener cualquier término de la sucesión.

$$u_{n}= 2n+1$$

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos siguientes al primero se obtienen añadiendo al número anterior un número fijo al cual se le llama la diferencia de la progresión.

El ejemplo donde nuestro primer término es $a_{1}$, nuestro segundo término es $a_{1} + d$, el tercer término es $a_{1}+2d$, etc… el cual puede ser representado como que el enésimo término es:

$$a_{n} = a_{1} +(n-1)d$$

Gracias al álgebra y a todos los estudios que existen de las progresiones aritméticas, tenemos el siguiente teorema que dice:

Teorema de la progresión aritmética

Si en una progresión aritmética $a_{1}$ es el primer término, $a_{n}$ es el enésimo término, $d$ es la diferencia y $s_{n}$ es la suma de los $n$ primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes siguientes:

$$a_{n} = a_{1} + \left(n – 1 \right)d$$

$$s_{n} = \cfrac{n}{2} \left(a_{1} + a_{n} \right)$$

En términos más simples, la expresión $a_{n}$ nos ayudará a calcular el valor en una posición y la expresión $s_{n}$ nos ayudará a calcular la suma de los números consecutivos desde el primer valor hasta el enésimo término que hayamos querido calcular.

Ahora, jugando con estas dos relaciones, podemos obtener otra fórmula que lo único que hace es sustituir a la $a_{n}$ de la fórmula de $s_{n}$ por toda la igualdad de la primera relación:

$$s_{n} = \cfrac{n}{2} \left( a_{1} + \left[ a_{1} + \left(n – 1 \right)d \right]\right)$$

Simplificamos para obtener nuestra segunda fórmula para $s_{n}$:

$$s_{n} = \cfrac{n}{2} \left[2a_{1} + \left(n – 1 \right)d \right]$$

Ejemplo 1 de progresión aritmética

En la progresión aritmética $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, $\dots$, calcular el término del lugar 14 y calcular la suma de los primeros 14 términos.

Utilizando las dos relaciones que tenemos del teorema de la progresión aritmética, tenemos que $a_{1} = 4$, los saltos en los que va creciendo es de dos en dos ($d=2$) y queremos el lugar 14 ($n=14$):

$$a_{14} = a_{1} + (n-1)d = 4 + \left(14-1\right)\cdot 2 = 4 + 13\cdot 2 = 30$$

$$s_{14}=\cfrac{n}{2}\left(a_{1} + a_{n}\right) = \cfrac{14}{2} \left(4 + 30 \right) = 238$$

Así que nuestro término 14 es $a_{14}=30$ y la suma de los primeros 14 términos es $s_{14}=238$.

Ejemplo 2 de progresión aritmética

En una progresión aritmética donde $a_{1}=2$ y $d=4$, ¿cuántos términos deben tomarse para que la suma sea $512$?

Como sabemos que la suma de los términos nos debe de dar $512$, tomaremos la fórmula obtenida de la unión de las primeras dos fórmulas de nuestro teorema de la progresión aritmética.

$$s_{n} = \cfrac{n}{2} \left[2a_{1} + \left(n – 1 \right)d \right]$$

Tenemos que $a_{1}=2$, $d=4$ y $s_{n}=512$:

$$512 = \cfrac{n}{2}\left[ 2\cdot 2 + \left( n – 1 \right) 4 \right]$$

$$512 = \cfrac{n}{2} \left[4 + 4n – 4\right]$$

$$512 = \cfrac{4n}{2} + \frac{4n^{2}}{2} – \cfrac{4n}{2} = 2n + 2n^{2} – 2n$$

$$512 = 2n^{2}$$

En este ejemplo nos quedó fácil hallar el resultado, ya que nada más es pasar dividiendo el $2$ y luego aplicar raíz cuadrada:

$$\cfrac{512}{2} = n^{2}$$

$$256 = n^{2}$$

Y entonces tenemos nuestros dos resultados

$$16, \quad -16$$

Y como $n$ debe ser un número entero y positivo, nuestro término buscado es $16$.

Ejemplo 3 de progresión aritmética

Interpolar siete medios aritméticos entre $10$ y $-14$.

Como tenemos que hallar siete medios aritméticos, quiere decir que nuestra progresión va a ser de 9 términos, debido a que son los siete medios aritméticos y nuestros extremos que son $10$ y el $-14$. Así que tenemos que $a_{1} = 10$ y $a_{9} = -14$. Como tenemos nuestra primera relación del teorema de la progresión aritmética:

$$a_{n} = a_{1} + \left(n-1\right)d$$

Sustituimos $a_{1}$ y $a_{n}$ como nuestro último término $a_{9}=-14$:

$$-14 = 10 + \left(9 – 1 \right)d \quad \rightarrow \quad -24 = 8d$$

Pasamos dividiendo el $8$ para que tengamos nuestra diferencia:

$$d = -3$$

Y como ya tenemos la diferencia, simplemente tomamos nuestro primer término y lo vamos a ir restando para obtener nuestros siete medios aritméticos que son los siguientes:

$$10, \ 7, \ 4, \ 1, \ -2, \ -5, \ -8, \ -11, \ -14$$

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cualquier término siguiente al primero se obtiene multiplicando el término anterior por un término no nulo al que le llamaremos razón de la progresión.

Un ejemplo sería el siguiente:

$$1, \ 2, \ 4, \ 8, \ \dots$$

Donde $a_{1}$ es el primer término y $r$ es la razón. Por lo tanto, tenemos que $a_{n}$ representa al enésimo término, el cual tendríamos nuestra siguiente fórmula:

$$a_{n} = a_{1}r^{n-1}$$

Ya que tenemos la expresión para hallar el término en una determinada posición, te voy a escribir la fórmula para la suma de los términos:

$$s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1 – r^{n} \right)}{1-r}, \qquad r \ne 1$$

Teorema de la progresión geométrica

Si en una progresión geométrica $a_{1}$ es el primer término, $a_{n}$ es el enésimo término, $r$ es la razón y $s_{n}$ es la suma de los $n$ primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes antes mencionadas:

$$a_{n} = a_{1}r^{n-1}$$

$$s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}, \qquad r=\ne 1$$

La primera igualdad lo que haremos será multiplicarla por $r$ para obtener lo siguiente:

$$ra_{n} = a_{1}r^{n-1}r = a_{1}r^{n-1+1} = a_{1}r^{n}$$

$$ra_{n} = a_{1}r^{n}$$

Así que lo único que hacemos es sustituir $a_{1}r^{n}$ de nuestra segunda igualdad de nuestro teorema:

$$s_{n} = \cfrac{a_{1} – a_{1}r^{n}}{1-r} = \cfrac{a_{1} – ra_{n}}{1-r}, \qquad r\ne 1$$

Ejemplo 1 de progresión geométrica

En nuestro primer sencillo ejemplo simplemente sustituiremos en las fórmulas. Tenemos nuestra progresión geométrica $1, \ 2, \ 4, \ 8, \ \dots ,$ en la cual queremos hallar el noveno término y la suma de los nueve primeros términos:

Tenemos que $a_{1} = 1$, $r=2$, $n=9$, por lo tanto, aplicaremos directamente las fórmulas:

$$a_{n} = a_{1}r^{n-1}$$

$$a_{9} = 1\dot 2^{8} = 256$$

$$a_{9} = 256$$

Y ahora calcularemos la suma de los primeros nueve términos:

$$s_{n} = \cfrac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$$

$$s_{9} = \cfrac{1\left(1-2^{9}\right)}{1-2} = \cfrac{1\left(1-512\right)}{-1}=\cfrac{1\left(-511\right)}{-1} = \cfrac{-511}{-1}$$

$$s_{9} = 511$$

Ejemplo 2 de progresión geométrica

Nuestro primer término es $4$, el último término es $\frac{15625}{16}$ y la suma de los términos es $\frac{25999}{16}$. Halla la razón y el número de términos.

Tenemos que $a_{1} = 4$, $a_{n} = \frac{15625}{16}$ y $s_{n} = \frac{25999}{16}$, entonces lo que queremos calcular es $r$ y $n$. Para este ejercicio de progresiones utilizaremos una de nuestras fórmulas que se mencionan en el teorema:

$$s_{n} = \cfrac{a_{1} – ra_{n}}{1-r}$$

Sustituimos todos los datos que tenemos para hallar $r$:

$$\cfrac{25999}{16} = \cfrac{4 – \left( \frac{15625}{16}\right)r}{1 – r}$$

Y ahora que ya tenemos nuestra expresión, lo único que tenemos que hacer es resolverla para llegar al resultado de $r$:

$$\cfrac{25999}{16} – \cfrac{25999}{16}r=4 – \cfrac{15625}{16}r$$

$$\cfrac{25999}{16} – 4 = \cfrac{25999}{16}r – \cfrac{15625}{16}r$$

$$\cfrac{25935}{16} = \cfrac{5187}{8}r$$

$$\cfrac{8}{5187}\cdot \cfrac{25935}{16} = r$$

$$r = \cfrac{5}{2}$$

Y ahora para hallar el valor de $n$, utilizaremos la fórmula $a_{n} = a_{1}r^{n-1}$, debido a que ya tenemos $r$, sólo necesitaremos resolver la ecuación para hallar $n$:

$$\cfrac{15625}{16} = 4\left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}$$

$$\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{15625}{16} = \left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}$$

$$\cfrac{15625}{64} = \left(\cfrac{5}{2}\right)^{n-1}$$

En esta parte viene un truco algebraico, lo que haremos es buscar un número que elevado a la potencia nos deje la parte izquierda de la ecuación con la misma base que la parte derecha de la ecuación, a lo que me refiero es que buscaremos un número (si es que podemos hacerlo al tanteo), que elevando $\frac{5}{2}$ a la $x$ potencia, nos pueda dar $\frac{15625}{64}$. Nosotros ya nos tomamos la molestia de buscarlo y es $6$:

$$\left(\cfrac{5}{2}\right)^{6} = \left(\cfrac{5}{2} \right)^{n-1}$$

Y ya que tenemos que en nuestra igualdad tenemos $\frac{5}{2}$ de los dos lados, ya podemos igualar nuestros exponentes:

$$6 = n-1$$

$$n=7$$

Dándonos como resultado que $ r = \cfrac{5}{2} $ y $ n=7 $.

Ejemplo 3 de progresión geométrica

Interpolar siete medios geométricos entre $\frac{1}{18}$ y $\frac{6561}{18}$.

Lo que debemos hacer es encontrar siete números que conformen una progresión geométrica, esos números empiezan con el primer número $\frac{1}{18}$ y finalizan con el número $\frac{6561}{18}$. Lo que quiere decir que nuestra progresión geométrica es de nueve términos.

Así que tenemos que $a_{1}=\frac{1}{18}$ y $a_{n} = a_{9} =\frac{6561}{18}$. Utilizaremos la siguiente ecuación y hallaremos el valor de la razón:

$$a_{n} = a_{1}r^{n-1}$$

Sustituimos valores y resolvemos:

$$\cfrac{6561}{18} = \cfrac{1}{18}r^{9-1}$$

$$\cfrac{6561}{\cancel{18}} \cdot \cfrac{\cancel{18}}{1} = r^{8}$$

$$6561= r^{8}$$

$$r = 3$$

Y ahora que ya tenemos la razón, simplemente aplicamos en la fórmula para ir determinando cada uno de los valores:

$$\begin{array}{| c | l |}
\hline
n & \text{Ecuación} \\ \hline
n & a_{n}=a_{1}r^{n-1} \\ \hline
1 & a_{1} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{0} = \frac{1}{18} \\ \hline
2 & a_{2} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{1} = \frac{3}{18} \\ \hline
3 & a_{3} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{2} = \frac{9}{18} \\ \hline
4 & a_{4} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{3} = \frac{27}{18} \\ \hline
5 & a_{5} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{4} = \frac{81}{18} \\ \hline
6 & a_{6} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{5} = \frac{243}{18} \\ \hline
7 & a_{7} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{6} = \frac{729}{18} \\ \hline
8 & a_{8} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{7} = \frac{2187}{18} \\ \hline
9 & a_{9} = \left(\frac{1}{18}\right)\cdot 3^{8} = \frac{6561}{18} \\
\hline
\end{array}$$

Así que tenemos que como respuesta tenemos que la razón es $r=3$ y nuestros siete valore son: $\frac{3}{18}$, $\frac{9}{18}$, $\frac{27}{18}$, $\frac{81}{18}$, $\frac{243}{18}$, $\frac{729}{18}$ y $\frac{2187}{18}$.

Progresiones armónicas

La progresión armónica es una sucesión de números los cuales sus recíprocos forman una progresión aritmética.

Un ejemplo sencillo sería: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{8}$, $\dots$, $\frac{1}{n}$, $\dots$ ya que $2$, $4$, $6$, $8$, $\dots$, $2n$, $\dots$ es una progresión aritmética. Recuerda que sólo son los recíprocos, así que el numerador siempre tiene que ser igual.

No veremos ejemplos de la progresión armónica ya que se resuelven igual que las progresiones aritméticas. Lo que sí veremos son varias fórmulas que servirán para todas las progresiones.

Si interpolamos un solo medio armónico entre dos números, obtendremos la media armónica. Lo que queremos decir es que $a$ y $b$ son números dados, entonces $H$ es nuestra media armónica:

$$\cfrac{1}{a}, \quad \cfrac{1}{H}, \quad \cfrac{1}{b}$$

Así que con esto podemos obtener otro teorema que nos será de mucha utilidad

Teorema

Si $A$, $G$, y $H$ son la media aritmética, la media geométrica y la media armónica, respectivamente, de dos números positivos diferentes $a$ y $b$, se verifican las siguientes fórmulas:

$$A = \cfrac{a + b}{2}, \qquad G=\sqrt{ab}, \qquad H = \cfrac{2ab}{a+b}$$

Estando entonces relacionados de la siguiente forma:

$$G^{2} = AH \qquad A > G > H$$

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