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Productos notables

Nota: Es recomendable aplicar la técnica de los paréntesis para cualquier producto notable que tenga muchas incógnitas, exponentes y/o algún signo negativo en un sólo término. Al final del post se encuentra dicha técnica.

¿Qué es un producto notable?

Un producto notable es la multiplicación entre 2 o más binomios dando como resultado un binomio, un trinomio o un polinomio. A continuación observaremos las diferentes expresiones de productos notables.

Igual explicaremos el desarrollo que lleva a dichas fórmulas, para que veas que todos estos resultados de productos notables son sólo una resolución de multiplicaciones, sumas y/o restas.

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Este producto notable es la suma de dos términos elevada al cuadrado y es igual a:

  1. El cuadrado del primer término, más
  2. el doble del producto del primer término por el segundo término, más
  3. el cuadrado del segundo término.

En términos más visuales, es así:

$$\left( x + y \right)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$$

$$\left( x – y \right)^{2} = x^{2} – 2xy + y^{2}$$

Desmenucemos el comportamiento del binomio al cuadrado

Multiplicaremos término por término para que observemos cómo es el comportamiento, recuerda la técnica del paréntesis si crees que te es necesaria:

$$(x + y)^{2}= (x + y)(x + y)$$

Ahora tomamos cada término y lo multiplicaremos paso a paso, empezamos con el primer término $x$ y lo multiplicaremos por la $x$ del segundo paréntesis, luego lo multiplicaremos por la $y$ del segundo paréntesis. Luego tomaremos la $y$ del primer paréntesis y la multiplicaremos primero por la $x$ del segundo paréntesis y luego por la $y$ del segundo paréntesis:

$$x \cdot x + x \cdot y + y\cdot x + y \cdot y$$

Efectuamos las multiplicaciones correspondientes:

$$x^{2} +xy + yx + y^{2}$$

Finalmente realizamos una suma para obtener nuestro resultado final, como observamos, se suman el $xy$ y el $yx$:

$$x^{2} + 2xy + y^{2}$$

Ejemplos del binomio al cuadrado

Ejemplo 1. $\left( 3 + y \right)^{2}$

Efectuamos el comportamiento del binomio al cuadrado

$$\left( 3 + y \right)^{2} = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot y + y^{2}$$

Finalmente realizamos las operaciones correspondientes para llegar a nuestro resultado final:

$$= 3^{2} + 6y + y^{2}$$

Ejemplo 2. $\left( 3x^{2} + 17\right)^{2}$

Para este caso utilizaremos la técnica del paréntesis:

$$\left( \left(3x^{2} \right) + 17\right)^{2}$$

Ahora fácilmente realizamos el comportamiento del binomio al cuadrado:

$$= \left( 3x^{2} \right)^{2} + 2 \cdot \left( 3x^{2} \right) \cdot \left( 17 \right) + 17^{2}$$

Realizamos las operaciones correspondientes para obtener nuestro resultado final:

$$9x^{4} + 102x^{2} + 289$$

Binomio conjugado

El binomio conjugado es el producto de la suma de dos términos multiplicado por la resta de dichos términos que es igual al:

  1. cuadrado del primer término menos
  2. el cuadrado del segundo término.

Visualmente es así:

$$(x + y) (x – y) = x^{2} – y^{2}$$

Desmenucemos el comportamiento del binomio conjugado

Multiplicaremos término por término para que observemos cómo es el comportamiento, recuerda la técnica del paréntesis si crees que te es necesaria, en este caso sí utilizaremos la técnica del paréntesis:

$$(x + y)(x – y) = (x + y)(x + (-y))$$

Ahora expresamos cada multiplicación de los binomios:

$$x \cdot x + x \cdot(-y) + x\cdot y + y\cdot(-y)$$

Efectuamos las multiplicaciones correspondientes:

$$x^{2} -xy + xy – y^{2}$$

Finalmente realizamos una resta para obtener nuestro resultado final, como observamos, se cancela el $-xy$ y el $xy$:

$$x^{2} – y^{2}$$

Ejemplos de un binomio conjugado

Ejemplo 1. $\left( x + 4 \right) \left(x – 4 \right)$

$$\left( x + 4 \right) \left( x – 4 \right) = x^{2} – \left( 4 \right)^{2} $$

$$= x^{2} – 16$$

Ejemplo 2. $\left( y^{3} + 13\right) \left(y^{3} – 13 \right)$

$$\left( y^{3} + 13\right) \left(y^{3} – 13 \right) = \left( y^{3}\right)^{2} – \left( 13 \right)^{2}$$

$$= y^{6} – 169$$

Binomio con un término en común

El producto de dos binomios donde existe un término semejante es igual al:

  1. Cuadrado del primer término más
  2. la suma de los términos diferentes multiplicados por el término semejante más
  3. el producto de los términos diferentes.

Visualmente es así:

$$\left( x + a \right) \left( x + b \right) = x^{2} + \left( a + b \right) x + a \cdot b$$

Desmenucemos el binomio con un término en común

Utilicemos la expresión anterior para demostrar el desglose del binomio con un término en común:

$$(x + a) (x +b)$$

Expresaremos cada multiplicación de la expresión:

$$(x + a)(x + b) = x\cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b$$

Ahora realizamos cada multiplicación:

$$x^{2} + xb + ax + ab$$

Como podemos observar, podemos dejar expresado el $xb + ax$ como $x(a + b)$ para obtener nuestro resultado final:

$$x^{2}  + x(a + b) + ab$$

Y no lo dijimos pero lo que hicimos al final fue una factorización.

Ejemplo de binomio con un término en común

Ejemplo 1. $(x + 3)(x + 12)$

$$\left( x + 3 \right) \left( x + 12 \right) = x^{2} + \left(3 + 12 \right) x + 3 \cdot 12 $$

$$= x^{2} + 15x + 36$$

Ejemplo 2. $(x^{4} + 7)(x^{4} – 16)$

Recuerda la técnica del paréntesis:

$$(x^{4} + 7)(x^{4} – 16) \Rightarrow (x^{4} + 7)(x^{4} + (-16))$$

Ahora podemos proceder a efectuar el comportamiento del binomio con un término en común:

$$=\left( x^{4} \right)^{2} + x^{4} \left( 7 + (-16) \right) + (7)(-16)$$

Realizamos las respectivas operaciones:

$$=x^{8} + x^{4}\left( 7- 16\right) + (-112) $$

$$=x^{8} + x^{4}\left(-9\right) – 112$$

Ahora obtendremos nuestro resultado final:

$$x^{8} – 9x^{4} – 112$$

Técnica del paréntesis

Cuando se tienen varias incógnitas en un término

Cuando tenemos términos que tienen varias incógnitas o incluso tienen exponentes, lo mejor es expresar ese término encerrándolo en un paréntesis y efectuar las operaciones con dicho paréntesis, veamos un ejemplo relativamente complejo:

$$\left( 9x^{2}yz^{4} + 4ay^{5} \right)^{2} \Rightarrow \left( \left( 9x^{2}yz^{4}\right) + \left( 4ay^{5}\right) \right)^{2}$$

Simplemente lo que tenemos que hacer es resolver utilizando los paréntesis:

$$\left( \left( 9x^{2}yz^{4}\right) + \left( 4ay^{5}\right) \right)^{2} = \left( 9x^{2}yz^{4}\right)^{2} + 2 \cdot \left( 9x^{2}yz^{4} \right) \cdot \left( 4ay^{5} \right) + \left( 4ay^{5}\right)^{2}$$

Ahora efectuaremos las multiplicaciones correspondientes para obtener nuestro resultado final:

$$\left( 9x^{2}yz^{4} + 4ay^{5} \right)^{2} = 81x^{4}y^{2}z^{8} + 72ax^{2}y^{6}z^{4} + 16a^{2}y^{10}$$

Cuando no sepas qué hacer con el negativo

Varias veces resulta que se presentan signos negativos en algún término del binomio y algunas veces es confuso al momento de efectuar las operaciones correspondientes. Así que lo que tenemos que hacer es aislar ese término con un paréntesis.

Pero antes de continuar, quiero mencionarte que las restas igual se pueden representar como sumas, quiero que tengas esto bien en cuenta. Ahora sí, utilicemos el ejemplo anterior y cambiemos de signo:

$$\left( 9x^{2}yz^{4} – 4ay^{5} \right)^{2} \Rightarrow \left( \left( 9x^{2}yz^{4}\right) + \left(-4ay^{5}\right) \right)^{2}$$

Vamos a resolver como resolvimos en el ejemplo anterior, sólo que mantendremos el negativo dentro del paréntesis del término $\left(4ay^{5} \right)$:

$$\left( \left( 9x^{2}yz^{4}\right) + \left(- 4ay^{5}\right) \right)^{2} = \left( 9x^{2}yz^{4}\right)^{2} + 2 \cdot \left( 9x^{2}yz^{4} \right) \cdot \left(- 4ay^{5} \right) + \left(- 4ay^{5}\right)^{2}$$

Una vez efectuadas las multiplicaciones correspondientes, tendremos el siguiente resultado:

$$\left( 9x^{2}yz^{4} + 4ay^{5} \right)^{2} = 81x^{4}y^{2}z^{8} – 72ax^{2}y^{6}z^{4} + 16a^{2}y^{10}$$

Otros productos notables

Con las técnicas que se explicaron anteriormente puedes resolver cualquier binomio que se te presente, pero de todas formas te adjuntaremos unos productos notables más:

  1. $\left( ax + b \right)\left( cx + d \right) = acx^{2} + \left( ad + bc \right)x + bd$
  2. $\left( x + y \right)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + b^{3}$
  3. $\left( x – y \right)^{3} = x^{3} – 3x^{2}y + 3xy^{2} – y^{3}$
  4. $\left( x + y \right)\left( x^{2} – xy + y^{2} \right) = x^{3} + y^{3}$
  5. $\left( x – y \right)\left( x^{2} + xy + y^{2} \right) = x^{3} – y^{3}$

¡Recuerda usar la técnica del paréntesis cuando sea necesaria!

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