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Operaciones algebraicas

Explicaremos las operaciones algebraicas y la forma de efectuarlas por la gran importancia que tiene llevar a cabo tales operaciones. Se recomienda que el lector practique dichas operaciones para aumentar su habilidad en el álgebra.

Al escribir todas las operaciones que veremos a continuación, te comentaré que usamos símbolos de agrupación, el más conocido es el paréntesis $( \ )$. El cual significa que los términos encerrados en el paréntesis deben ser considerados como un sólo número. Te muestro más símbolos de agrupación: corchetes o paréntesis rectangular $[ \ ]$, llave $\{ \ \}$ y la barra o vínculo $\overline{\ \ \ \ \ \ \ }$ el cual se coloca arriba de los términos a agrupar: $1 + \overline{2 + 3}$.

Expresión algebraica, término y polinomio

Una expresión algebraica se llama así debido a que es el resultado de un proceso. Así como $2x^{3} – y$ es una expresión algebraica porque se forma efectuando operaciones algebraicas con los números $2$ y $3$ y las letras $x$ y $y$. Ejemplos de expresiones algebraicas son las siguientes:

$$\cfrac{4y}{7x} + 2z^{2}, \qquad \quad \cfrac{x + 3}{x^{4} + 3x^{2} + 1}$$

La más simple de las expresiones se obtiene combinando letras y números de cualquiera de las operaciones algebraicas excluyendo la suma y la resta. A cada una de ellas se les llama término algebraico, veamos varios ejemplos:

$$\cfrac{2x}{3y}, \ 10xy, \ 8\sqrt{ab}, \ 8x, \ xy$$

Todo término algebraico tiene un factor llamado coeficiente, el término $8\sqrt{ab}$ tiene como coeficiente al $8$, el término $\frac{2x}{3y}$ tiene como coeficiente $\frac{2}{3}$.

Los términos algebraicos que únicamente son diferentes en sus coeficientes se llaman términos semejantes. Los siguientes términos son semejantes:

$$ab \quad \text{y} \quad -6ab$$

Se entiende por grado de un término a la suma de los mencionados exponentes. Por ejemplo, el término $xyz$ es de grado 3, el término $\sqrt{2}a^{3}bc^{2}$ es de grado 6. Observa unos ejemplos más:

$$\begin{array}{c c c}
\ \text{Grado 1} \ & \ \text{Grado 4} \ & \ \text{Grado 7} \ \\
y & xy^{3} & nx^{2}y^{3}z
\end{array}$$

Cuando se tiene un solo término, se le llama monomio. Si existen dos o más términos enlazados por los signos de adición ($+$) y sustracción ($-$), se le llama suma o resta algebraica, al mismo tiempo, si tenemos dos términos que se suman o se restan, a esa expresión se le conoce como binomio, si tenemos tres términos se le conoce como trinomio, y a partir de aquí, mientras más términos hayan se le conocerá a la expresión con el nombre de multinomio o más preferentemente polinomio.

$$\begin{array}{c c c c}
\ \text{Monomio} & \text{Binomio} & \text{Trinomio} & \text{Polinomio} \ \\
y & x + y & \ x + y + z \ & \ n + x + y + z
\end{array}$$

Si todos los términos de un polinomio son del mismo grado, se le conoce como una expresión homogénea.

$$\begin{array}{c c c}
\ \text{Homogénea} \ & \ \text{Homogénea} \ & \ \text{No homogénea} \ \\
x^{2} + y^{2} & xyz + n^{3} & xy + z
\end{array}$$

Adición

Existen 5 propiedades o leyes de la adición.

Ley de la existencia

La adición siempre es posible. Siempre es posible efectuar la adición con dos o más números dando por resultado otro número.

Ley de la unicidad

Dados dos números $a$ y $b$, existe un solo número $c$ tal que $a + b = c$.

El cero es un número, pero no se aplica esta ley cuando queremos sumar un número cualquiera $a$ con el cero. Ya que $a$ seguirá siendo $a$: $a = a$. Esto nos expresa que es una importante propiedad del cero.

Ley conmutativa

Si $a$ y $b$ son dos números, entonces $a + b = b + a$. La suma de dos o más números es independiente del orden en que se redacten:

$$1 + 2 = 2 + 1$$

Ley asociativa

Si $a$, $b$ y $c$ son tres números, entonces $\left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)$. La suma de tres o más números es independientes de la manera en que se agrupen:

$$\left( 1 + 2 \right) + 3 = 1 + \left( 2 + 3 \right) = 2 \left( 3 + 1 \right)$$

Ley aditiva de la igualdad

Si $a$, $b$ y $c$ son números cualesquiera tales que $a = b$, entonces $a + c = b + c$.

Sustracción

La sustracción es la operación inversa de la adición. Teniendo la siguiente propiedad:

Propiedad sustractiva de la igualdad

Si $a$, $b$ y $c$ son números cualquiera tales que $a=b$, entonces $a – c = b – c$.

A continuación hablaremos de un teorema de la sustracción.

Teorema 1

La suma de cualquier número negativo con su correspondiente número positivo es igual a cero.

$$(-a) + a = (0 – a) + a = 0 – a + a = 0$$

Hay más teoremas, pero sólo consideramos colocar el visto anteriormente ya que es el más relevante. Apreciamos mucho el libro de álgebra de Lehmann, pero no colocaremos todos los teoremas que menciona en la sustracción debido a que consideramos no muy necesario mencionarlos.

Multiplicación

Veamos las leyes de la multiplicación

Ley de existencia

La multiplicación siempre es posible. Multiplicar dos o más números cualesquiera también dará como resultado un número.

Ley de unicidad

La multiplicación es única. Para dos números cualesquiera $a$ y $b$, existe sólo un número $c$ tal que $a\cdot b = c$. Además, $c$ es producto de $a$ por $b$ y $a$ y $b$ son los factores de $c$. Y $a$ y $b$ reciben el nombre de multiplicando y multiplicador, respectivamente.

Ley conmutativa

Si $a$ y $b$ son dos números cualquiera entonces $a\cdot b = b\cdot a$. El orden de los factores no altera el producto.

$$3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 12$$

Ley asociativa

Si $a$, $b$ y $c$ son tres números cualquiera, entonces:

$$c\cdot (a\cdot b) = a\cdot (b \cdot c) = b \cdot (a\cdot c)$$

La propiedad multiplicativa de la igualdad

Si $a$, $b$ y $c$ son tres números cualquiera tales que $a = b$, entonces:

$$a\cdot c = b\cdot c$$

La propiedad distributiva

Si $a$, $b$ y $c$ son tres números cualquiera, entonces:

$$a\cdot (b + c) = a\cdot b + a \cdot c \ \rightarrow \ 2(2 + 4) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 4$$

Teorema 1

El producto de cualquier número por cero es igual a cero.

$$a\cdot 0 = a \cdot (c – c) = a\cdot c – a\cdot c = 0$$

Teorema 2

El producto de un número positivo por un número negativo es un número negativo.

$$a\cdot (-b) = x \ \rightarrow \ 3\cdot (-2) = -6$$

Teorema 3

El producto de dos números negativos es un número positivo.

$$(-a)(-b) = x \ \rightarrow \ (-3)(-4) = 12$$

Teorema 4

Si el producto de dos números es igual a cero, por lo menos uno de los factores es igual a cero.

$$a\cdot b = 0$$

División

La división se puede representar con la igualdad siguiente:

$$c = \cfrac{b}{a}$$

Que se lee: $c$ es igual a $b$ dividido entre $a$, lo que quiere decir que $c$ es el cociente obtenido al dividir el dividendo $b$ entre el divisor $a$. También podemos decir que $c$ es el número por el que hay que multiplicar $a$ para obtener el producto $b$. Así es como tenemos la siguiente igualdad:

$$a\cdot \cfrac{b}{a} = b \qquad \quad a \neq 0 $$

Te comento de una vez que la división se puede representar de la siguiente manera:

$$\cfrac{b}{a}, \quad b/a, \quad b \div a, \quad b:a$$

A continuación observaremos unos teoremas que nos serán muy útiles al momento de hacer divisiones.

Teorema 1

La división entre el número cero es imposible.

Utilizando un poco de lógica, toma un número y divídelo entre $2$, luego toma el mismo número y divídelo entre un número más pequeño y así sucesivamente hasta que observes lo que ocurre.

$$\cfrac{1}{2} = 0.5 \qquad \cfrac{1}{0.5} = 2 \qquad \cfrac{1}{0.01} = 100$$

Si dividimos el mismo número entre un número muy cercano al cero, obtendremos un número tan grande que sería imposible escribirlo. Ahora intenta imaginar lo que pasará si dividimos entre el cero.

Esa es una explicación sencilla del porqué no podemos dividir entre cero.

Teorema 2

Si cero se divide entre cualquier número diferente de cero, el cociente (resultado) siempre es cero.

$$b = \cfrac{0}{a} \ \rightarrow \ b = 0$$

Teorema 3

El producto de dos cocientes $w/x$ y $y/z$ es otro cociente.

$$\cfrac{a}{c} \cdot \cfrac{b}{d} = \cfrac{a\cdot b}{c \cdot d}$$

Teorema 4

Si $a$ y $b$ son ambos diferentes de cero, y $m$, $n$, $r$ y $s$ son números enteros y positivos tales que $m > n$ y $r > s$, entonces:

$$\cfrac{a^{m}b^{r}}{a^{n}b^{s}} = a^{m-n}b^{r-s}$$

Veamos unos ejemplos:

$$\cfrac{a^{4}b^{2}}{a^{3}b^{4}} = \cfrac{a^{4}}{a^{3}} \cdot \cfrac{b^{2}}{b^{4}} = a^{4-3}b^{2-4} = a\cdot b^{-2} = \cfrac{a}{b^{2}}$$

$$\cfrac{10 a^{3}b^{2}}{2 a^{2}b^{2}} = \cfrac{10}{2} \cdot \cfrac{a^{3}}{a^{2}} \cdot \cfrac{b^{2}}{b^{2}} = 5 \cdot a^{3-2} \cdot b^{2-2} = 5 \cdot a \cdot 1 = 5a$$

Teorema 5

Para dividir en polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio, y se suman los cocientes obtenidos.

$$\cfrac{a + b – c + d}{n} = \cfrac{a}{n} + \cfrac{b}{n} – \cfrac{c}{n} + \cfrac{d}{n}$$

Exponentes

Las leyes relativas a los exponentes que debemos de saber son las siguientes:

  1. $x^{m}\cdot a^{n} = x^{m+n}$
  2. $\left( x^{m} \right)^{n} = a^{m\cdot n}$
  3. $\left( x \cdot y\right)^{m} = x^{m} \cdot y^{m}$
  4. $\left( \cfrac{x}{y} \right)^{m} = \cfrac{x^{m}}{y^{m}}$
  5. $\cfrac{x^{m}}{y^{m}} = x^{m – y}, \qquad m > n$
  6. $\cfrac{x^{m}}{x^{n}} = \cfrac{1}{x^{n – m}}, \qquad m < n$

Radicales

La expresión que representa a los radicales es la $\sqrt[n]{a}$, donde a $q$ se le llama el índice y a $a$ se le llama el radicando. Podemos expresar el radical de dos maneras diferentes, observa:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

Leyes de los radicales

  1. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a\cdot b}$
  2. $\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\cfrac{a}{b}} \qquad b\ neq 0$
  3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

Simplificar radicales

Estas leyes las utilizamos para simplificar los radicales, los cuales se dicen que están simplificados cuando cumplen lo siguiente:

  • El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice $q$ del radical.
  • El sub radical no contiene fracciones.
  • El índice del radical es el menor posible.

Ahora veamos cada ejemplo de

Suma y resta de los radicales

Para aplicar la suma y la resta a los radicales, se necesita que dos o más radicales sean semejantes. Ejemplo, $4\sqrt{2}$ y $5\sqrt{2}$ son radicales semejantes. Sumaremos o restaremos como si la raíz fuera una incógnita. Veamos un ejemplo, simplifica la siguiente expresión:

$$4\sqrt{2} + 8\sqrt{8} – 3\sqrt{18}$$

Para simplificar la expresión, primero necesitamos desglosar cada uno de los términos:

$$4\sqrt{2} + 8 \sqrt{2\cdot 2 \cdot 2} – 3 \sqrt{3\cdot 3 \cdot 2}$$

Ahora representaremos como al cuadrado los términos que se puedan, como se puede apreciar en el segundo término, podemos expresar a esos números dos como $2^{2} \cdot 2$ y lo mismo con el tres del tercer término:

$$4\sqrt{2} + 8\sqrt{2^{2}\cdot 2} – 3 \sqrt{3^{2} \cdot 2}$$

Y los términos que tengan en el exponente el mismo número que en el índice del radical que los contiene, pueden salir de dicho radical. Como tenemos un $2^{2}$ que tiene el mismo exponente que la raíz cuadrada que lo contiene, entonces podemos sacarlo de la raíz cuadrada y pasará a ser simplemente un $2$, lo mismo aplica para todos los radicales que tengamos en la expresión:

$$4\sqrt{2} + 8\cdot 2 \sqrt{2} – 3 \cdot 3 \sqrt{2}$$

Ahora efectuamos las multiplicaciones:

$$4\sqrt{2} + 16\sqrt{2} – 9 \sqrt{2}$$

Y efectuamos las sumas y restas como si los radicales fueran una incógnita, lo que quiere decir que sumaremos $4 + 16$ y luego le restamos el $9$:

$$4\sqrt{2} + 16\sqrt{2} – 9 \sqrt{2} = 11\sqrt{2}$$

Productos notables

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Factorización

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Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo es un polinomio que es divisible en partes enteras entre otro que se llama múltiplo. Por ejemplo, $x^{2} – y^{2}$ es un múltiplo común de $x + y$ y $x – y$.

Aquel múltiplo común de dos o más polinomios que tiene el menor grado posible se llama el mínimo común múltiplo y normalmente se le designa con las siglas de M. C. M.

El M. C. M. $ge$ de dos polinomios es igual al producto de todos los factores diferentes de estos polinomios y se tomará cada factor con el máximo exponentes.

El mínimo común múltiplo será al multiplicación de todas los números que utilizamos para dividir los números que nos den, veamos un ejemplo.

Ejemplo de mínimo común múltiplo

Determina el mínimo común múltiplo de $x^{2} – y^{2}$, $x^{3} – y^{3}$ y $x^{2} + 2xy + y^{2}$. Utilicemos la famosa tabla del mínimo común múltiplo:

$$\begin{array}{c c c c c | c}
x^{2} + 2xy + y^{2} & \quad & x^{3} – y^{3} & \quad & x^{2} – y^{2} & 1 \\
\hline
& & & & & \\
& & & & & \\
& & & & &
\end{array}$$

Escribiremos un “número” para que divida a algún polinomio que tenemos, no importa si no divide a todos:

$$\begin{array}{c c c c c | c}
x^{2} + 2xy + y^{2} & \quad & x^{3} + y^{3} & \quad & x^{2} – y^{2} & \\
\hline
x + y & & x^{2} – xy + y^{2} & & x – y & x + y \\
& & & & & \\
& & & & &
\end{array}$$

Y así continuaremos hasta que logremos dividir hasta que todos los polinomios se vuelvan 1.

$$\begin{array}{c c c c c | c}
x^{2} + 2xy + y^{2} & \quad & x^{3} + y^{3} & \quad & x^{2} – y^{2} & \quad \\
\hline
x + y & & x^{2} – xy + y^{2} & & x – y & x + y \\
1 & & x^{2} – xy + y^{2} & & x -y & x + y \\
& & & & &
\end{array}$$

$$\begin{array}{c c c c c | c}
x^{2} + 2xy + y^{2} & \quad & x^{3} + y^{3} & \quad & x^{2} – y^{2} & \quad \\
\hline
x + y & & x^{2} – xy + y^{2} & & x – y & x + y \\
1 & & x^{2} – xy + y^{2} & & x -y & x + y \\
1 & & 1 & & x – y & x^{2} – xy + y^{2} \\
& & & & &
\end{array}$$

$$\begin{array}{c c c c c | c}
x^{2} + 2xy + y^{2} & \quad & x^{3} + y^{3} & \quad & x^{2} – y^{2} & \quad \\
\hline
x + y & & x^{2} – xy + y^{2} & & x – y & x + y \\
1 & & x^{2} – xy + y^{2} & & x -y & x + y \\
1 & & 1 & & x – y & x^{2} – xy + y^{2} \\
1 & & 1 & & 1 & x – y
\end{array}$$

Y el resultado del mínimo común múltiplo son todos aquellos polinomios que tenemos hasta la derecha de nuestro cuadro.

$$\text{M.C.M. } = \left( x + y \right)^{2}(x – y)\left(x^{2} – xy + y^{2} \right)$$

Veamos un ejemplo del mínimo común múltiplo con números

Determina el mínimo común múltiplo de los números $4$, $20$, $37$ y $45$. Nosotros escribiremos el cuadro y seguidamente escribiremos un segundo cuadro con los resultados. Te recomendamos que lo intentes hacer y luego verifiques si tienes el mismo resultado que nosotros.

$$\begin{array}{c c c c c c c | c}
6 & \quad & 20 & \quad & 47 & \quad & 45 & \quad \\
\hline
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & & \\
& & & & & & &
\end{array}$$

El cuadro de la respuesta es el siguiente:

$$\begin{array}{c c c c c c c | c}
6 & \quad & 20 & \quad & 47 & \quad & 45 & \quad \\
\hline
2 & & 20 & & 47 & & 15 & 3 \\
1 & & 10 & & 47 & & 15 & 2 \\
& & 2 & & 47 & & 3 & 5 \\
& & 2 & & 1 & & 3 & 47 \\
& & 2 & & & & 1 & 3 \\
& & 1 & & & & & 2
\end{array}$$

El mínimo común múltiplo de los números $6$, $20$, $47$ y $45$ es:

$$\text{M.C.M. } = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 47 \cdot 3 \cdot 2 = 8460$$

Gracias por estar en este momento con nosotros : )

Información valiosa tomada de:

Lehmann, C. (2012). Álgebra, D.F. México, Limusa.

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