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Números reales

Para empezar con este post, vamos a mostrar primero el resumen de los números reales con una simple imagen y después explicaremos cada componente de la imagen.

diagrama-de-numeros-reales
Sencillo diagrama de los números reales

Números Reales (R)

Todos los números racionales e irracionales corresponden a un número real. De los cuales, los números racionales se componen de números enteros, números naturales, números negativos y el cero.

Los números reales son todos aquellos que pueden representarse dentro de una recta numérica, sin importar que el número sea negativo, positivo, decimal racional o irracional, entero o el cero.

recta-de-los-numeros-reales

Propiedades de los Números Reales

$$\begin{array}{c c}
\hline
\hline
\begin{array}{c} \text{Propiedad} \\ \text{Conmutativa} \end{array} & \begin{array}{c} a + b = b + a \qquad \qquad \quad a\times b = b \times a \\ \begin{array}{c} \text{Se obtiene el mismo resultado sin importar el orden }\\ \text{en el cual dos números son sumados o multiplicados.} \end{array} \end{array} \\
\hline \hline
\begin{array}{c} \text{Propiedad} \\ \text{Asociativa} \end{array} & \begin{array}{c} \left(a + b \right) + c = a + \left(b + c \right) \qquad \left( a\times b\right)\times c = a\times \left( b \times c\right) \\ \begin{array}{c} \text{Si tres números se suman o se multiplican a la vez,} \\ \text{se obtiene el mismo resultado sin importar cual} \\ \text{de ellos se sume o multiplique en primer término.} \end{array} \end{array} \\
\hline \hline
\begin{array}{c} \text{Propiedad} \\ \text{Distributiva} \end{array} & \begin{array}{c} a\times\left( b + c \right) = a \times b + a \times c \\ \left( b + c \right) \times a = b \times a + c \times a \\ \begin{array}{c} \text{Simplificación de expresiones, forman la base} \\ \text{para los métodos de factorización.} \end{array} \end{array} \\
\hline \hline
\begin{array}{c} \text{Propiedad de} \\ \text{Identidad} \end{array} & \begin{array}{c} a + 0 = a \qquad a \times 1 = a \\ \begin{array}{c} \text{Si a } 0 \text{ se le suma } a \text{, seguirá siendo } a \text{, y si se } \\ \text{multiplica por } 1 \text{, será también el resultado } a \text{.} \end{array} \end{array} \\
\hline \hline
\begin{array}{c} \text{Propiedad del} \\ \text{Inverso} \end{array} & \begin{array}{c} a + (-a) = 0 \qquad a\times a^{-1} = 1 \\ \begin{array}{c} \text{Si } a \text{ es un número real, existe un único número } \\ \text{real denominado el negativo} = -a \\ \text{Si } a \text{ no es cero, existe un único número} \\ \text{real denominado el recíproco de } =a^{-1} \end{array} \end{array} \\
\hline \hline
\end{array}$$

Números Irracionales (I)

Los números irracionales son todos aquellos números que no pueden expresarse debido a que sus expresiones decimales continúan indefinidamente sin presentar ningún patrón repetitivo. Podemos agregarle todos los números que podamos a estos números, pero nunca presentarán un patrón repetitivo en comparación con los números racionales.

Ejemplos de números irracionales

Estoy seguro que alguna vez has visto el número $\pi$, déjame decirte que es un número irracional y de igual forma hay muchos más ejemplos como los siguientes:

$$\sqrt{2} = 1.414213562…$$

$$\sqrt{3} = 1.732050808…$$

Números Racionales (Q)

Los números racionales son todos aquellos donde sus decimales terminan o presentan un patrón que se repite indefinidamente. Estos números racionales incluyen a las fracciones $\left( \frac{x}{y} \right)$ donde el numerador ($x$) y el denominador ($y$) son enteros y el denominador es diferente de cero.

Podemos efectuar las operaciones básicas como sumar, restar, multiplicar o dividir entre dos números racionales y siempre obtendremos otro número racional.

Ejemplos de números racionales

Los números racionales pueden ser cualquier fracción siempre y cuando el denominador sea diferente de cero:

$$\cfrac{1}{4} = 0.25$$

$$\cfrac{2}{3} = 0.666 \dots$$

El número $\frac{2}{3}$ es un número racional simplemente porque presenta un patrón repetitivo en sus decimales.

Números Enteros (Z)

Los números enteros son todos aquellos números naturales positivos, los negativos de cada número natural y el cero. Podemos sumar, restar y multiplicar y la división se puede realizar siempre y cuando el resultado no dé un número racional o irracional.

Ejemplos de números enteros

Simplemente son los números con los que normalmente contamos más los negativos de los números enteros:

$$\dots , -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$$

Números Naturales (N)

Los números naturales son todos aquellos que se representan dentro de la recta numérica después del cero. Podemos realizar todas las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división siempre y cuando el resultado dé otro número natural.

Ejemplos de números naturales

Simplemente son todos aquellos números enteros positivos, sin incluir al cero:

$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots$$

$$4\times 3 = 12$$

$$5/5 = 1$$

Exponentes

Primero definiremos qué es un exponente: Un exponente ($n$) es un número utilizado para indicar el número de veces que un factor se multiplica por sí mismo, así como existen los subíndices, el exponente es un superíndice.

Ejemplo de exponente

Si $n$ es un número entero positivo, $a^{n}$ significa que $a$ va a ser multiplicado por sí misma $n$ veces.

$$a^{n} = a \times a \times a \dots$$

$$2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$$

$$11^{2} = 11 \times 11 = 121$$

Radicales

Definamos qué es un radical: un radical es una expresión que se utiliza cuando un número no se puede simplificar eliminando alguna raíz a la $n$ o algún exponente fraccionario. Así que podemos dejar expresado un radical en forma de raíz a la $n$ o de exponente:

$$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$

$$\sqrt[n]{b^{m}} = b^{\frac{m}{n}}$$

Ejemplos de radicales

$$\sqrt[5]{4} = 4^{\frac{1}{5}}$$

$$\sqrt[6]{8^{3}} = 8^{\frac{3}{6}}$$

Operaciones con exponentes enteros

Vamos a ver 5 casos que se presentan en las operaciones con exponentes enteros.

Caso 1

Cuando dos exponentes de una base común se multiplican, el resultado es igual a la base ($b$) elevada a la suma de los dos exponentes.

$$b^{n} \times b^{m} = b^{n + m}$$

Caso 2

Una base $a$ con un exponente $m$ que se divide entre la misma base $a$ pero con exponente diferente $n$, es igual a la misma base elevada a la resta del exponente de la base del numerador menos el exponente de la base del denominador.

$$\cfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$$

Caso 3

Un exponente $n$ elevado a otro exponente $m$ es igual a la base elevada al producto de los dos exponentes.

$$\left( a^{n}\right)^{m} = a^{n\times m}$$

Caso 4

El producto de dos números elevados a una potencia $n$ es igual al producto de cada número elevado a dicha potencia.

$$\left( a\times b\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}$$

Caso 5

El cociente de dos números elevados a una potencia $n$ es igual al cociente de cada número elevado a dicha potencia.

$$\left( \cfrac{a}{b} \right)^{n} = \cfrac{a^{n}}{b^{n}}$$

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